用浏览器JS以数字方式求解trig方程

Question

给定变量s，v和h的值，并给出numeric.js等库，我如何在数字上解析the following equation { {1}}在给定的准确度范围内？

我想在浏览器中使用JS算法。

Answer 1

1. 这是超越等式

   我认为真实域在这种情况下你不能将未知与它分开（一般而言），你仍然可以用数字方式解决它（如你所愿）

2. 我懒得对2a.sinh(h/2a)=sqrt(s.s-v.v)进行适当的分析

   但如果我看到它正确，那么2a.sinh(h/2a)是单调的，所以让c=sqrt(s.s-v.v)为了简单和加快。正如我所看到的那样c >= 0所以如果h >= 0那么a = <0,+inf)

3. 找到价值交叉

   double a0,a1,da=initial accuracy step;
   for (a1=0.0;2a.sinh(h/2a)<=sqrt(s.s-v.v);a1+=da);
   

   现在a1拥有近似的顶部绑定解决方案

   for (a0=a1;2a.sinh(h/2a)>sqrt(s.s-v.v);a0-=da);
   

   现在a0拥有近似的低限解

4. 以所需的准确度找到解决方案

   
   如果a0==a1，那么您已找到确切的解决方案，请停止 如果fabs(a1-a0)<=accuracy你在准确性范围内，那么停止并降低da例如da*=0.01;，这将提高准确度100次。现在再次搜索解决方案，但仅在间隔<a0,a1>上搜索解决方案并重复此操作直到找到解决方案

<强> [注释]

超越方程解的另一个例子是：solving Kepler`s equation。当没有其他工作时你仍然可以试试这个：

• How approximation search works

Answer 2

分离变量和参数

你可以先用b = a / h代替。那会把你的等式变成

  

2b * sinh（1 /（2b））= sqrt（s²-v²）/ h

这样你就可以在右手边看到所有的输入，在左手边看到变量，但遗憾的是，它仍然以超然的形式出现在几个地方。好处是我们现在可以将右侧视为单个数字，以便对此功能有所了解。

首先看一下情节

这个功能似乎表现得相当好：

所以你可以做standard numerical root-finding methods，例如Newton's method，找到此函数获取给定值的位置（即您从右侧计算的值）。如果您将根查找解释为查找函数为零的位置，那么您要为其找到零的函数就是差异，即

  

2a * sinh（h /（2a）） - sqrt（s²-v²）

使用numeric.js

中的优化

如果您想使用numeric.js，numeric.uncmin可能是您最好的选择。至少它是迄今为止我在文档中找到的最好的。 （也许在那里有一些裸根发现实现，但如果是这样，我还是找不到它。）你试着找到函数的最小值

  

（2a * sinh（h /（2a）） - sqrt（s²-v²））²

被解释为a的函数，并希望该最小值实际上（接近）为零。通过将该函数的梯度（导数）作为单独的参数提供，可以获得更好的结果（即更快的收敛和/或更低的误差）。您可以use Wolfram Alpha找到该衍生产品。

进一步重写函数

让我们将f定义为f（b）= 2b * sinh（1 /（2b））。您试图找出f假定给定值的位置。为了使收敛更快，您可以尝试将此f转换为接近线性的不同函数。四处乱哄乱，我想出了这个：

  

g（b）=（f（b）-1）^（ - 1/2）

您可以将相同的转换应用于右侧，以查看此功能的所需值。对于b> 0.06这看起来相当线性，所以它应该非常快速地收敛。如果您的参数预计在几乎是线性的范围内，但即使对于较小的 b ，它也不应该比原始配方差。您可以使用线性形式计算牛顿方法的起始位置，但我不会打扰：只要您从一个相当大的值开始，牛顿方法的第一步就是这样做。