找到函数的Big-theta符号

Question

所以我在循环中嵌入了一个循环：

int a,b,n;
for (a = 1; a <=n; a++) {
    for (b = 0; b < n; b+=a)
        cout << "hey" << endl;
}

n是2的幂

我试图了解如何计算时间复杂度，但是我很难弄清楚Big-theta符号。

我知道outter循环在O（n）时间运行，但由于b + = a，我不确定内循环。我知道如果我有时间进行两个循环，我可以将它们相乘以获得函数的Big-theta时间，但我不确定内循环在运行的是什么。

当我插入样本n（即2,4,8,16）时，内环分别循环3次，9次，24次，61次。我不明白这些价值观是如何相关的。

编辑：

好的，我看到你在说什么，但我试图将它与这个功能进行比较。这个功能的时间是多少？然后我可以比较两者的速度：

int a,b,n;
int z = 1;
for (a = 0; a <n; a++) {
    for (b = 0; b < n; b=b+z)
        cout << "hey" << endl;
    z = z * 2;
}

Answer 1

你可以看到内部循环运行a包含在n中的次数，即满足的最大整数k：

它对应于天花板功能。所以内循环的迭代总数是：

第二个总和是Divisor summatory function，可以写成：

因此整个代码的时间复杂度为O（nlogn）。

修改

关于您发布的第二段代码，计算更简单。如果n=2^k，则迭代次数为：

所以第二个更快，因为它是O（n）。