Question

n列表大小
v[n]列出所有值设置为0

update(k, a)

v[k] += a操作
query(a, b)操作，返回v[a] + v[a+1] + ... + v[a+b]，a<b

这些操作使算法的时间复杂度为O(n * cost of one operation)：

---------------------------
| update | query | total  |
---------------------------
|  O(1)  |  O(n) |  O(n)  |
---------------------------

是否有任何版本的update和query操作可以提高总时间复杂度？

例如，我尝试在0操作中缓存n和update之间的每个总和，但我得到了更慢的算法：

---------------------------
| update | query | total  |
---------------------------
| O(n^2) |  O(1) | O(n^2) |
---------------------------

有什么建议吗？

最糟糕的情况是我感兴趣的。

我已经知道两个版本：每个版本都有一个操作O(1)而另一个O(n)或更高版本。

Answer 1

正如Niklas所说，这个问题或多或少是为Fenwick trees设计的（你的查询可以作为两个前缀和的差异来回答）。我正在写这个答案，指出可以用不同的方式来换取运营成本。

首先，使用廉价查询的算法可以将其更新时间改进为O（n）：提前计算前缀总和并使用上述差异技巧。此外，我们可以提取主要想法并将其应用于任何支持操作的数据结构

update(k, a, b): for i in a..b, do s[i] += k
query(i): return s[i],

其中s现在包含前缀sum而不是实际值。

现在，经典的Fenwick / segment树每个内部节点有d = 2个子节点（是二进制的）。没有什么能阻止我们选择其他d值。 update或query必须访问节点及其祖先，而另一个必须访问包含输入间隔的段。前一种访问模式需要时间O（log n / log d）。后一种模式需要时间O（d（log n / log d））。在此框架中，您提出的算法实质上取d = n。通过获取d的其他值，我们可以考虑查询/更新操作的精确组合以及可能有利于更平坦的树结构的架构细节。

Answer 2

感谢@Niklas B的评论之一。我继续关注细分树的研究。

细分树的表示

leaf节点是输入数组的元素
每个内部节点表示叶节点的一些合并
合并是节点下的叶子总和
树的数组表示用于表示段树
对于索引为i的每个节点，左边的子节点位于2*i+1，右边的子节点位于2*i+2，父节点位于floor((i-1)/2)

从给定数组构建段树

以细分arr[0, .., n-1]
将当前段分成两半（如果尚未成为长度为1的段）
在两半上调用相同的过程，对于每个这样的段，我们将总和存储在相应的节点
构建的分段树的所有级别将完全填充，但最后一级除外。
树将是一个完整的二叉树，因为我们总是将每个级别的两个部分划分为
由于构造的树总是带有n叶子的完整二叉树，因此会有n-1个内部节点
节点总数将为2*n – 1。

时间复杂度

树构建有O(n)
总共2n-1个节点，每个节点的值仅在树构造中计算一次
查询有O(Logn)
要查询总和，我们每个级别最多处理四个节点，级别数为O（Logn）。
更新还有O(Logn)

要更新叶值，我们处理每个级别的一个节点，级别数为O(Logn)

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| update  |  query  |  total  |
-------------------------------
| O(Logn) | O(Logn) | O(Logn) |
-------------------------------

参考文献：

http://www.geeksforgeeks.org/segment-tree-set-1-sum-of-given-range/

http://en.wikipedia.org/wiki/Segment_tree

如何提高此算法的时间复杂度？

2 个答案: