Question

我想在Coq中证明或伪造forall (P Q : Prop), (P -> Q) -> (Q -> P) -> P = Q.。这是我的方法。

Inductive True2 : Prop :=
 | One : True2
 | Two : True2.

Lemma True_has_one : forall (t0 t1 : True), t0 = t1.
Proof.
  intros.
  destruct t0. destruct t1.
  reflexivity.
Qed.

Lemma not_True2_has_one : (forall (t0 t1 : True2), t0 = t1) -> False.
Proof.
  intros.
  specialize (H One Two).
  inversion H.

但是，inversion H什么也没做。我想也许是因为coq的证明独立性（我不是英语母语人士，我不知道确切的词，请原谅我的无知），而且coq使得不可能证明一个=两个 - >假。但是，如果是这样，为什么必须消除证据的内容？

如果没有上述主张，我无法证明以下内容或他们的否定。

Lemma True_neq_True2 : True = True2 -> False.

Theorem iff_eq : forall (P Q : Prop), (P -> Q) -> (Q -> P) -> P = Q.

所以我的问题是：

如何或可能在Coq中证明或伪造forall (P Q : Prop), (P -> Q) -> (Q -> P) -> P = Q.
为什么inversion H什么都不做;这是因为coq的证明独立性，如果是这样，为什么Coq会浪费精力去做这件事。

Answer 1

您提及的原则forall P Q : Prop, (P <-> Q) -> P = Q通常称为命题扩展。这个原则在Coq的逻辑中是不可证明的，并且最初逻辑的设计使得它可以作为公理添加而没有任何伤害。因此，在标准库（Coq.Logic.ClassicalFacts）中，人们可以找到关于这个原理的许多定理，将它与其他众所周知的经典推理逻辑原理联系起来。令人惊讶的是，recently发现Coq的逻辑与这个原则不相符，但是有一个非常微妙的原因。这被认为是一个错误，因为逻辑的设计使得这可以作为一个没有伤害的公理添加。他们想在新版本的Coq中修复这个问题，但我不知道它的当前状态是什么。从版本8.4开始，命题扩展性在Coq中是不一致的。

在任何情况下，如果在Coq的未来版本中修复了此错误，则无法在Coq中证明或反驳此原则。换句话说，Coq团队希望这个原则是Coq逻辑的独立。

inversion H之所以没有做任何事情，因为关于证明的推理规则（类型为Prop的事物）与推理非证据的规则不同（类型为Type的东西。您可能知道Coq中的证据只是条款。在幕后，inversion基本上构建了以下术语：

Definition true_not_false : true <> false :=
  fun H =>
    match H in _ = b
            return if b then True else False
    with
    | eq_refl => I
    end.

如果您尝试对bool中的Prop版本执行相同操作，则会收到更多信息错误：

Inductive Pbool : Prop :=
| Ptrue : Pbool
| Pfalse : Pbool.

Fail Definition Ptrue_not_Pfalse : Ptrue <> Pfalse :=
  fun H =>
    match H in _ = b
            return if b then True else False
    with
    | eq_refl => I
    end.

(* The command has indeed failed with message: *)
(* => Error: *)
(*    Incorrect elimination of "b" in the inductive type "Pbool": *)
(*    the return type has sort "Type" while it should be "Prop". *)
(*    Elimination of an inductive object of sort Prop *)
(*    is not allowed on a predicate in sort Type *)
(*    because proofs can be eliminated only to build proofs. *)

事实上，其中一个原因是Coq被设计为与另一个称为证明不相关的原则相兼容（我认为这就是你所说的＆＃34;证明独立性＆＃34;。）

如何或可能证明或伪造“forall（P Q：Prop），（P - > Q） - ＆gt; （Q - ＆gt; P） - ＆gt; Coq中的P = Q。？

1 个答案: