图的3色（多项式时间）？

Question

我们可以在多项式时间内用3种颜色绘制图形吗？我读到用2着色图 颜色很容易，但用3种不同的颜色着色图形（没有两个顶点有 相同的颜色）是np-hard。但是，我想知道是否有一个魔术盒说“是”＆＃39;对于＆＃39; A
图形在多项式时间内是3可着色的吗？＆＃39;如果它表示“是”＆＃39;怎么解决呢？ 多项式时间？有任何想法吗 ？

Answer 1

在图表中添加3个新顶点，称为红色/绿色/蓝色，每个顶点连接到另外2个，但没有其他任何顶点。

然后对于图表中的每个顶点：

1. 如果生成的图形为3可着色
，则将顶点连接到红色
2. 否则，如果结果图形为3可着色
，则将顶点连接到绿色
3. 否则，将顶点连接到蓝色（通过构造，结果图形必须为3可着色）

在此过程结束时，您将为每个顶点确定一种颜色。

这是O（N *魔法），魔法就是魔术盒的复杂性。

Answer 2

@Peter de Rivaz的答案可能是最简单的答案，并且仅使用“魔术盒”的O（nk）测试，其中 k 是颜色的数量（此问题中为3）。我自己在考虑问题，并提出了一个更复杂的替代解决方案，并使用“魔盒”的O（n²）测试，但出于证明的目的，它也同样有效：< / p>

• 让H成为G的副本。
• 对于每对顶点u-v，其中G没有边u-v：
  • 使用魔术盒测试边缘u-v的H是否仍为k色。
  • 如果是，请将该边添加到H。否则，请不要添加。
• 以Hᶜ，H的complement为例；它最多有k个connected components。
• 根据G的每个顶点所属的Hᶜ分量为G的每个顶点分配颜色。

之所以起作用，是因为在第一阶段之后，H是“最大边缘”的，因为它是k可着色的，但不能添加任何边，因此它仍然是k可着色的。任何满足此特性的图都必须是最多具有k个连通分量的图的补，每个连通分量为complete graph。

• 如果Hᶜ具有多于k个相连的分量，则从每个分量中选择一个顶点将在多于k个顶点上给出H的完整子图，因此H不能是k可着色的。因此，该算法最多使用k种颜色。
• Hᶜ的每个组成部分均已完成：
  • 考虑H的k色；如果此着色在Hᶜ的相同分量中具有两个不同颜色的顶点，则必须在H such中的一条边上连接两个这样的顶点。可以在不破坏颜色的情况下将该边缘添加到H中。矛盾。
  • 因此，在H的任何k色中，Hᶜ的每个分量都必须是单色的。因此，在Hᶜ的相同分量中的任何两个顶点必须通过Hᶜ中的一条边连接，因为在H的所有着色中颜色相同，它们不能通过H中的一条边连接。
  • 因此，该算法不会为H的任何相邻顶点着色相同的颜色，因此，由于G是H的子图，因此不会为G的所有相邻顶点着色相同的颜色。