将图分割成2组顶点

Question

我想将连通图划分为2组顶点，这样每组顶点之间边缘权重之和的差异就会最小化。

例如，如果图形由顶点1,2,3,4,5组成，请考虑此分区：

设置A - {1,2,3}

设置B - {4,5}

总和A = {w（1 2）+ w（2 3）+ w（1 3）}

总和B = {w（4 5）}

Diff = abs（Sum A - Sum B）...（这是一个可能的分区差异。）

那么，我如何找到一个分区，使差异最小化？

Answer 1

这个问题很难，因为它至少和partition problem一样难。

证明草图

考虑一个分区问题，我们将数字{1,2,3,4,5}分成两组，尽可能小的差异。

构建如下图：

如果有人想出一个算法来解决你的问题，你可以使用算法将这个图分成两组，这样每组中的权重总和就会最小化。

在最佳解决方案中，蓝色和绿色节点必须放置在不同的集合中（因为我们有一个重量无穷大的边连接它们）。其余节点将连接到蓝色或绿色节点。调用连接到蓝色set1的连接和连接到绿色set2的连接。此分区将为分区问题提供最佳答案。

贪心算法

但是，根据图表的结构和权重值，您可能能够做出合理的工作。

例如，您可以尝试：

1. 选择顶点的随机排列
2. 循环遍历每个顶点，并根据目标函数（仅对目前指定的顶点进行评估）进行最小化，分配给集合1或2。

重复此算法几次并跟踪最佳分数。

当您只需要分配几个顶点时，您还可以尝试对剩余顶点的所有可能分区进行强力评估，以搜索一个好的解决方案。

Answer 2

以下算法草图基于Iterated Local Search。我们的想法是贪婪地优化当前的解决方案，直到找到局部最优解决方案。然后打扰此解决方案以克服局部最优解。始终跟踪到目前为止找到的最佳解决方案。

1. 将顶点集随机分为V1和V2
2. 迭代
   • 计算当前分部的成本（边缘重量差异）
   • 从V1中选择两个随机顶点v1，从V2
   中选择v2
   • 检查交换这些顶点（将v1移动到V2，将v2移动到V1）是否会降低成本（边缘权重差异）。如果是这样，交换顶点v1和v2，否则保持集合。
3. 通过将V1中的一半顶点与V2中的一半顶点进行交换来扰乱会聚解。转到2。

迭代本地搜索是一种令人惊讶的有效且实用的启发式算法 - 即使对于NP完全问题也是如此。