平面交叉处的两个凸多边形

Question

在O（nlogm）时间内具有全部n个顶点的平面中找到m个多边形集合中的两个凸多边形的交集

Answer 1

以下是O(n * log m)解决方案：

1. 让我们检查两个多边形是否真正相交（而不是一个是多边形） 包含在另一个内）。在这种情况下，我们可以使用标准算法
   检查任意组中是否存在一对交叉段 细分市场有一个众所周知的O(n * log n)扫描线解决方案
   对于这个问题（我稍后将展示如何为此O(n * log m) 特别的问题）。我们感兴趣的一组细分只是一组 给定多边形的所有边缘。如果找到了一个交叉点，我们就完成了。

2. 否则，我们必须检查一个多边形是否包含在另一个多边形中。我们
   将再次使用扫描线。事件应按其x坐标排序 有两种类型的事件：多边形的边缘已经开始，边缘有 结束。让我们迭代所有事件并维护一个有序集合 （使用平衡二叉搜索树）（边缘应按其对照进行比较 y坐标，它们的相对顺序永远不会改变，因为它们都没有相交） 所有已开始但未结束的边（第一个类型事件将一个边添加到
   集合，第二种类型删除一个）。我声称包含一个多边形 在另一个内，当且仅在某一点上，在以下的序列中存在以下序列 集合：A B B A，其中A是一个多边形的边，B是
   的边 另一个。要检查这种情况是否发生，这就足够了 查看相邻的新插入/新删除的元素 每次插入/删除后。
   到目前为止，它看起来像O(n * log n)。

3. 现在让我们实现O(n * log m)时间复杂度。迭代了 1和2中的事件。维护集合已经O(n * log m) 因为一次最多只有O(m)个元素（不超过 每个多边形的两条边）。所以唯一剩下的部分是全部排序 边缘乘x坐标。这里的想法非常简单：对于凸多边形， 可以在O(k)时间内生成其边缘的排序列表，其中 k是顶点的数量（我们可以在2中从左到右遍历它 方向并获得两个可以在线性时间内合并的排序列表。所以 现在我们有m个排序列表，总共不超过n个元素。合并 它们在O(n * log m)时间内使用堆进入一个排序列表是一个标准 问题也是。就是这样。