平均图像滤波器

Question

开始学习图像过滤并且难以在网站上找到问题：两次应用3×3均值滤波器并不会产生与应用5×5均值滤波器一次相同的结果。但是，可以构造一个相当的5×5卷积核。这个内核是什么样的？

会感谢帮助，以便我能更好地理解这个主题。感谢。

Answer 1

3x3表示：

[1 1 1]
[1 1 1] * 1/9
[1 1 1]

3x3意味着两次：

[1 2 3 2 1]
[2 4 6 4 2]
[3 6 9 6 3] * 1/27
[2 4 6 4 2]
[1 2 3 2 1]

如何？每个单元通过一个或多个中间3x3窗口间接贡献。考虑有助于给定阶段2计算的阶段1窗口的集合。包含给定源单元的此类3x3窗口的数量决定了该单元的贡献。例如，中间单元格包含在所有九个窗口中，因此其贡献为9 * 1/9 * 1/9。我不知道我是否已经解释得那么好，所以我希望你有意义。

Answer 2

马塞洛的回答是正确的。另一种看待它的方式（更容易在一个维度中首先考虑它）：我们知道均值滤波器相当于带有矩形窗口的卷积。我们知道卷积是一个线性运算，也是 associative 。

现在，将均值过滤器M应用于信号X可以写为

Y = M * X

其中*表示卷积。然后两次应用过滤器将给出

Y = M * (M * X) = (M * M) * X  = M2 * X

这表示使用均值滤波器对信号进行两次滤波与使用M2 = M * M给出的等效滤波器对其进行一次滤波相同。现在，这包括将均值滤波器应用于自身，这使得“平滑”滤波器（在这种情况下为三角滤波器）。

可以重复该过程，（参见first graph here）并且可以证明，对于平均滤波器的多次重复（矩形滤波器的N个卷积与其自身）的等效滤波器倾向于高斯过滤即可。此外，可以证明高斯滤波器具有您在矩形（平均）滤波器中找不到的属性：高斯滤波器的两次通过相当于另一个高斯滤波器。

Answer 3

实际上，我认为3x3两次应该给：

[1 2 3 2 1]
[2 4 6 4 2]
[3 6 9 6 3] * 1/81
[2 4 6 4 2]
[1 2 3 2 1]

原因是因为所有值的总和必须等于1。