Question

如果节点数= n，我们有

否。 BSTs = C（n）
否。结构上不同的二叉树= C（n）
否。二叉树= n！ * C（n）

其中C（n）=加泰罗尼亚数=（2n）！ / [（n + 1）！ * n！ ]

我理解＃1。我可以使用BST属性[下面的代码]来做到这一点。谁能告诉我如何到达＃2和＃3？感谢。

public static long countBST_dp(int n) {
    if(n == 0 || n == 1) return 1;
    long[] arr = new long[n+1];
    arr[0] = 1; arr[1] = 1;

    for (int i = 2; i < arr.length; i++) {
        int isum = 0;
        for (int k = 1; k <= i; k++) {
            isum += arr[k-1] * arr[i-k];
        }
        arr[i] = isum;
    }
    return arr[n];
}

Answer 1

否。结构上不同的二叉树 - 在这里顺序无关紧要，所有顶点都是相同的 - 所有重要的是结构。因此，我们可以创建一个bijection - 给定一个BST，创建一个所有节点都相同的树。现在，给定两个不同的BST - 你将获得两个不同的树，节点是相同的（否则两个节点之间存在差异，因此树不是BST） - 所以我们的函数是{{3 }}。此外，还有一些BST可以生成＆＃34;任何结构树＆＃39; - 所以我们的功能是injective。
因为我们发现从{T | T is a BST of nodes [1,2,...,n]}到{T | T is a binary tree where all nodes are identical}的双射 - 两组的大小是相同的。因为我们知道大小为C(n)的第一组，所以第二组也是。

否。二叉树= n！ * C（n）

对于来自T的每个树{T | T is a binary tree where all nodes are identical}，我们可以生成n!个不同的树，以便通过在节点上应用所有排列来使节点彼此不同。因此，存在|{T | T is a binary tree where all nodes are identical}| * n!个不同的树，使得节点彼此不同。由于我们已经证明集合的大小是加泰罗尼亚数字，我们得到C(n)*n!

Answer 2

对于＃1，您可以观看：Count Number of Binary Search Tress given N Distinct Elements

对于＃2，你可以看到：Number of Binary Trees with n nodes
基本思想是我们以节点为根，将剩下的子树分布在左右子树上，这是原始子树的较小子问题。

对于＃3，它是不同二叉树的数量（＃2）乘以每棵树的不同数量排列（n！）。把它想象为用n个数字的任何排列填充BST。

Answer 3

<强> 2。结构上不同的二叉树数量= C（n）

来自维基百科，Catalan number满足递归关系：

C(0) = 1, C(1) = 1
C(n) = C(0)*C(n-1) + C(1)*C(n-2) + ... + C(n-1)*C(0)

表示h(n) = No. of structurally different binary trees with node n，然后：

h(0) = 1
h(1) = 1
...
With n node, left subtree of root may have 0,1,...,n-1 nodes
accordingly right subtree have n-1,n-2,...,0 nodes, so:
h(n) = h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) = C(n)

第3。二叉树的数量= n！ * C（n）

如果修复了二叉树的结构，我们可以n方式用n!个不同的值“填充”树。

有C(n)个结构，所以No. of binary trees = n! * C(n)。

具有节点n的二叉树和BST的数量

3 个答案: