Question

如果我有n-r个数字，从1 to n中间缺少r个数字，那么如何计算可以通过添加这些数字形成的所有可能数字（或者分组为2/3/4/5/6 ......）。

例如，假设我有5-2个数字，也就是说，1 2 4和3 5丢失了。现在，我可以形成

1 - {1}
2 - {2}
3 - {1,2}
4 - {4}
5 - {1,4}
6 - {4,2}
7 - {1,2,4}
8 - Cannot be formed

这是我需要找出的，这是1中的第一个数字，我无法使用给定数字的组合形成。一个简单的逻辑就可以了。谢谢！

Answer 1

让S[i]成为可以从您的数字的第一个i形成的数字集合。然后给出S[i]，可以很容易地构建S[i+1]：从S[i]开始，然后添加s+r形式的所有数字，其中s位于{ {1}}和S[i]是您列表中的r号码。

因此，您可以迭代地构建集合(i+1)，s[0] = {0}, S[1],...,S[n-r]包含所有可能的总和。

以下是您的示例：

S[n-r]

Answer 2

以包含0

set

查找set和您的第一个号码的所有可能总和（如果您的第一个号码是1，那么您的set包含1和0）
现在添加下一个号码（如果您的下一个号码为2，则set包含0,1,2和3）
所以......

set包含所有可能的数字。您需要通过set进行迭代并找到第一个差距。如果您的设置中有负数，这将甚至。

我知道你说你只是想要逻辑，但如果你想在下面看到一个解决方案鼠标：

set<int> foo{ 0 };
vector<int> numbers{ 4, 1, 2 };

for (auto& i : numbers){
set<int> temp;

for_each(foo.begin(), foo.end(),[&](int j){temp.insert(i + j);});
foo.insert(temp.begin(), temp.end());
}

for (auto& i : foo){
cout << i << endl;
}
cout << "First number that cannot be formed " << *mismatch(foo.begin(), prev(foo.end()), next(foo.begin()), [](int first, int second){return first + 1 == second;}).first + 1 << endl;

如果您尝试使用STL算法在set中搜索差距，我发现这有点困难。问题是你需要将迭代器的增量与其比较分开。

因此，例如，这不会起作用：

<击> auto i = foo.begin();
  while (++i != prev(foo.end()) && *prev(i) + 1 == *i);
  cout << "First number that cannot be formed " << *prev(i) + 1 << endl;

因为如果所有数字都是顺序*prev(i) + 1是该集合中的最后一个值。

此选项可用：

i = foo.begin();
while (i != prev(foo.end()) && *i + 1 == *next(i)){
    ++i;
}
cout << "First number that cannot be formed " << *i + 1 << endl;

但这假设您的set始终包含至少0。

Answer 3

逻辑是为每个连续的整数构建所有可能的总和，从1开始。通过跟踪所有可能的总和并仅检查整数对的总和，可以简化问题。伪代码（未经测试和错误）看起来像：

const std::vector<unsigned> l = {1,2,4};
const unsigned sum = std::accumulate(l.begin(), l.end());
typedef std::vector<unsigned> Sum; // one possibility for a single value
typedef std::vector<Sum> Sums; // all possibilities for a single value
// the element all[i] will provide all possible subsets where the sum is equal to 'i'
std::vector<Sums> all(sum + 2); // we know that sum + 1 is impossible
// initialize with single values
for (auto i: l)
{
    all[i].push_back(Vector(1, i));
}
unsigned i = 1; // ignore 0
// stop as soon as a value doesn't have any subset
while (!all[i].empty())
{
    ++i;
    for (unsigned j = 1; i/2 > j; ++j)
    {
        const unsigned k = i - j;
        // as i == j+k, create all the relevant combinations
        for (const auto &sj: all[j])
        {
            for (const auto &sk: all[k])
            {
                all[i].push_back(sj);
                all[i].back.insert(all[i].end(), sk.begin(), sk.end());
            }
        }
    }
    if (0 == (i % 2))
    {
        // create all the possible decompositions out of i/2
        for (auto left = all[i/2].begin(); all[i/2].end() != left; ++left)
        {
            for (auto right = left + 1; all[i/2].end() != right; ++ right)
            {
                all[i].push_back(*left);
                all[i].back.insert(all[i].end(), right->begin(), right->end());
            }
        }
    }
}

需要解决的一个问题是：拒绝相同数字出现多次的总和。

Answer 4

对于只包含正整数的输入set或multiset，Evgeny Kluev's Solution是 O（2n），[我的其他解决方案]是 O（nlogn）

对于给定的输入number，您可以找到不可变形的数字，如下所示：

将number的元素收集到int_log[i] i = int(log2(元素))
查找S[]

int_log[]

第一个不可变形的数字是S[x] + 1，其中int_log[x + 1]不包含小于或等于S[x] + 1的元素

要证明 [0，S[i]] 范围内的所有数字都可以由小于2 ^{i-1的int_log子集构成}见：https://math.stackexchange.com/questions/1099359/0-sum-representable-by-numbers-in-a-set

set<int> numbers{ 1, 2, 5, 6, 7 };
unordered_multimap<unsigned long, decltype(numbers)::key_type> int_log;

for (auto& value : numbers){
    auto key = decltype(int_log)::key_type{};

    _BitScanReverse(&key, value); //If using gcc you'll need to use __builtin_clz here
    int_log.insert(make_pair(key, value));
}

auto result = decltype(numbers)::key_type{}; // Because we only ever need to look at the previous prefix sum value we'll use previousSum instead of a S[] here
auto sum = decltype(numbers)::key_type{};
auto i = decltype(int_log)::key_type{};
auto smallest = decltype(numbers)::key_type{};

do{
    result = sum;
    smallest = 2 << i;

    for (auto range = int_log.equal_range(i); range.first != range.second; ++range.first){
        const auto current = range.first->second;

        sum += current;
        smallest = min(smallest, current);
    }
    ++i;
} while (result >= smallest - 1);
cout << "First number that cannot be formed: " << result + 1 << endl;

通过添加给定数字形成的所有可能数字

4 个答案: