证明k + 1案例的棘手递归关系

Question

我对这一点感到非常难过。

T(n) = { 3, if n = 2 || T(n - 1) + (n/4), if n > 2

Prove by induction that T(n) = (n^2 + n + 18) / 8  [V n >= 2]

我知道如何通过归纳来执行证明，但由于某种原因，我无法解决k + 1案例的这个表达式。

任何帮助都会非常出色。

Answer 1

首先，我们选择n = 2：

T(n = 2) = (2^2 + 2 + 18) / 8 = 24 / 8 = 3

很好，有效。现在我们知道有一个k >= 2符合T(n)的定义。然后，让n = k+1为任意k >= 2：

设置

T(n = k+1) = ((k+1)^2 + k + 1 + 18) / 8
           = (k^2 + 2k + 1 + k + 1 + 18) / 8
           = (k^2 + k + 18) / 8 + (2 + 2k) / 8
           = T(k) + k/4

这正是T(n)的定义所说的。

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