如何快速计算高维向量之间的距离

Question

假设有三组高维向量：

{a_1，a_2，...，a_N}，

{b_1，b_2，...，b_N}，

{c_1，c_2，...，c_N}。

我的每个矢量可以表示为：x = a_i + b_j + c_k，其中1 <= i，j，k <= N.然后将矢量编码为（i，j，k），其中然后可以解码为x = a_i + b_j + c_k。

我的问题是，如果有两个向量：x =（i_1，j_1，k_1），y =（i_2，j_2，k_2），是否有一种计算这两个向量的欧几里德距离而无需解码x的方法收率

Answer 1

组件之间差异的平方和的平方根。没有其他办法可以做到。

您应该缩放值以防止溢出/下溢问题。在平方，求和和取平方根之前，搜索最大差值并除以所有分量。

Answer 2

我们假设你只有两个小组。您正在尝试计算标量积

(a_i1 + b_j1, a_i2 + b_j2)
= (a_i1,a_i2) + (b_j1,b_j2) + (a_i1,b_j2) + (a_i2,b_j1) # <- elementary scalar products

因此，如果您知道向量a_i，b_j，c_k元素之间必需的基本标量积，则不需要“解码”x和y，并且可以直接计算标量积。

请注意，这正是在非正交基础上计算普通欧几里德距离时所发生的情况。

Answer 3

如果您对近似结果感到满意，可以使用random projection将高维基矢量投影到小维空间中。 Johnson-Lindenstrauss引理说你可以将尺寸减小到O（log N），这样距离保持大致相同的概率很高。