“最佳情况表现Θ（1） - >运行时间≠Θ（log n）”是否有效？

Question

这是一个论证，证明算法的运行时间不能被视为Θ(f(n))，而应该是O(f(n))。

E.g。关于二元搜索的问题：Is binary search theta log (n) or big O log(n)

MartinStettner的response更令人困惑。

考虑*-case表演：

最佳表现：Θ（1）
平均情况表现：Θ（log n）
最坏情况表现：Θ（log n）

然后他引用 Cormen，Leiserson，Rivest：“算法简介”：

  

当我们说“运行时间是O（n ^ 2）”时，我们的意思是最坏情况下的运行时间（n的函数）是O（n ^ 2）...

这是否表明running time和worst-case running time这两个词是同义词？

此外，如果running time引用具有自然输入f(n)的函数，则必须有Θ类包含它，例如Θ(f(n))，对吧？这表示只有在非常精确地知道运行时间时才有义务使用O表示法（即只知道上限）。

Answer 1

当您编写O(f(n))时，表示算法的运行时间超出了函数c*f(n)，其中c是常量。这也意味着您的算法可以比c*f(n)少得多的步骤完成。我们经常使用Big-O表示法，因为我们希望包含算法比我们指示的更快完成的可能性。另一方面，Theta(f(n))表示算法始终以c*f(n)步骤完成。二进制搜索为O(log(n))，因为它通常会在log(n)步骤中完成，但如果您获得幸运，则可以完成一步（最佳情况）。

Answer 2

如果我读到有关运行时间的话，我总是感到困惑。

对我来说，运行时间是需要在计算机上执行算法的时间。这可能在很多方面有所不同，因此是一件复杂的事情。

所以我认为算法的复杂性是一个更好的词。

现在， 复杂度（在大多数情况下）是最坏情况下的复杂性。如果你知道最坏情况的上限，你也知道它只会在其他情况下变得更好。

所以，如果你知道，存在一些（可能是微不足道的）情况，你的算法只执行一些（常数）步骤和停止，你不必关心下限，所以你（正常） ）使用大的上限 - O或小 - o符号。

如果您巧妙地进行计算，也可以使用Θ表示法。

但请注意：所有复杂性仅适用于他们所附带的案件。这意味着：如果你做出像“输入是最好的情况”这样的假设，这会影响你的计算以及由此产生的复杂性。在二进制搜索的情况下，您发布了三种不同的复杂性的复杂性。 您可以通过说：“二进制搜索的复杂性在O(log n)”中进行概括，因为Θ(log n)表示“Ω(log n)和O(log n)”和O(1)是O(log n)的一部分。

总结一下： - 如果您知道复杂性的非常精确的函数，则可以使用Θ - 符号表示复杂性 - 如果要获得整体上限，则必须使用O - 表示法，直到所有输入情况的下限与上限没有区别。 - 在大多数情况下，您必须使用O - 表示法，因为算法太复杂而无法获得接近的上限和下限。