具有度约束的最小生成树

Question

我必须解决这个问题：

  

给定加权连通无向图G =（V，E）和顶点u在V.   描述一个算法，找到G的MST，使得u的程度   很小;算法的输出T是MST并且彼此相对   最小生成树T＆＃39;是小于或小于T的程度   等于T＆＃39;中的u的程度。

我考虑过这个算法（经过一些谷歌搜索后我找到了类似问题here的解决方案）：

• 暂时删除顶点u。
• 对于每个得到的连通分量C1，...，Cm使用例如Cm找到MST。 Kruskal或Prim的算法。
• 重新添加顶点u，并为每个Ci添加1和Ci之间最便宜的边缘。

修改

我知道这个算法可能会得到一个错误的MST（参见@AndyG评论）所以我想到了另一个：

• 令k为G中每两个权重之间的最小增量，并且将0 <0。 x＆lt; k到你的每个相邻边缘。 （例如，如果所有权重都是自然数，则k = 1且x是分数）。
• 使用Kruskal算法找到MST。

该解决方案基于Kruskal算法迭代边缘的事实 按重量排序，因此G的所有MST之间的差异是从相同重量的所有边缘中选择每个边缘。因此，如果我们增加u的相邻边缘的程度，算法将选择相同度数的其他边缘而不是u的相邻边缘，除非MST需要这个边缘，并且u的程度将是最小的G的MST。

我仍然不知道它是否有效以及如何证明此算法的正确性。

我将不胜感激。

Answer 1

总结建议的算法[对epsilon（你称之为x）的要求更严格]：

• 选择一个微小的epsilon（使得epsilon * deg（u）小于d，这是任何一对子图之间的最小非零重量差异）。在所有原始权重都是自然数的情况下，epsilon = 1 /（deg（u）+1）就足够了。
• 将epsilon添加到发生在u
上的所有边的权重
• 找到最小的生成树。

我们将证明此过程找到原始图形的MST，以最小化入射到u的边数。

设W是原始图中任何最小生成树的权重。

首先，我们将显示新图的每个MST都是原始图的MST。原始图中的任何非MST必须至少具有W + d的权重。新图中的任何MST必须具有最多W + deg（u）* epsilon的权重（因为原始图中的任何MST在新图中具有最多该权重）。由于我们选择了epsilon，因此deg（u）* epsilon＆lt; d，我们得出结论，新图中的任何MST也是原始图中的MST。

其次，我们将展示新图的MST是原始图的MST，其最小化了入射到u的边的数量。原始图的MST，T在新图中具有权重W + k * epsilon，其中k是入射到u的T的边的数量。我们已经证明新图的每个MST也是原始图的MST。因此，新图形的MST是原始图形的MST，它最小化k（入射到u的边数）。