Question

Functors可以是协变的和逆变的。这种协变/逆变二元性是否也适用于monad？

类似的东西：

class Monad m where
  return :: a -> m a
  (>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b    

class ContraMonad m where
  return :: a -> m a
  contrabind :: m a -> (b -> m a) -> m b

ContraMonad课程有意义吗？有什么例子吗？

Answer 1

当然，可以定义它，但我怀疑它会有用。

有一种流行的说法是“monad只是一种类型的endofunctors中的monoid”。这意味着，首先，我们有一类endofunctors（意思是，从一些类别到其自身的（协变）函子），而且我们在这个endofunctors上有一些乘法（在这种情况下 - 组合）。然后monad适合我们现在不必担心的一般框架。关键是，逆变函子没有“乘法”。两个协变仿函数的组合又是一个协变函子;但是两个逆变函子的组合不是逆变函子（而是一个协变函子，所以，一个完全不同的野兽）。

所以，“逆变单子”并没有真正意义。

Answer 2

逆变函子是一个从一个类到opposite category的函子，即从一个类到另一个类（尽管是密切相关的）。 OTOH，monad最重要的是 endofunctor ，即从一个类别到本身。所以它不能逆变。

当你考虑monad的“基本数学”定义时，这种东西总是更加清晰：

class Functor m => Monad m where
  pure :: a -> m a
  join :: m (m a) -> m a

如你所见，那里没有任何箭头你可以在结果中转身，就像你对contrabind所做的那样。当然有

class Functor n => Comonad n where
  extract :: n a -> a
  duplicate :: n a -> n (n a)

但是comonads仍然是协变仿函数。

与monads不同，applicatives（monoidal functors）不一定是endofunctors，所以我相信这些可以被转换。让我们从“基本”定义开始：

class Functor f => Monoidal f where
  pureUnit :: () -> f ()
  fzipWith :: ((a,b)->c) -> (f a, f b)->f c  -- I avoid currying to make it clear what the arrows are.

（练习：根据此定义派生的Applicative实例，反之亦然）

转过来

class Contravariant f => ContraApp f where
  pureDisunit :: f () -> ()
  fcontraunzip :: ((a,b)->c) -> f c->(f a, f b)
                            -- I'm not sure, maybe this should
                            -- be `f c -> Either (f a) (f b)` instead.

不知道会有多大用处。 pureDisunit肯定没用，因为它的唯一实现始终是const ()。

让我们尝试编写明显的实例：

newtype Opp a b = Opp { getOpp :: b -> a }

instance Contravariant (Opp a) where
  contramap f (Opp g) = Opp $ g . f

instance ContraApp (Opp a) where
  pureDisunit = const ()
  fcontraunzip z (Opp g)
     = (Opp $ \a -> ???, Opp $ \b -> ???) -- `z` needs both `a` and `b`, can't get it!

我认为这不是很有用，尽管你可以用聪明的结合递归来定义它。

可能更有趣的是一个逆变共同幺正函子，但现在这对我来说太奇怪了。

是否存在逆变单子？

2 个答案: