Question

我需要一段代码，找到权重最大的节点之间的最短路径。例如，从A到D的最快路线，但权重最大：

  - B- --E
     /  \ /
    A    D
     \  / \
      C - -F

所以现在最短的是ABD或ACD。一旦加权，代码应该选择两个中最长的路径（反直觉，是吗？）。

我试图修改Dijkstra算法的算法，但最终我最终遍历了整个图表。谁会知道怎么做？即使只是一个算法，所以我可以自己编码也会有很大的帮助。

Answer 1

从图表中的源代码（让它为s）运行BFS以查找从s到目标t的最短路径的长度，设为d。同时标记d(s,v) - 从s到任何节点v的距离。
创建G'=(V',E')的子G，以便：v位于V' 仅当它与来源（s）的距离最多为d - d(s,v) <= d时。仅当e=(u,v)和E'都在u时，v才会出现在V'。
如果G*=(V*,E*)和V'=V*中有(u,v)，那么E*和E'边缘d(s,u) < d(s,v)位于w*(u,v) = -w(u,v)
设置新的权重函数G*，并使用w*在G上运行Bellman Ford。
从s到t的{{1}}中最重的最短路径的重量为-d(t)，而BF找到的路径是匹配的路径。

算法的时间复杂度为O(VE)，因为Bellman-Ford是瓶颈。

正确性证明

声明1：从s到t的最短路径不包含任何周期。
通过消除循环我们得到一条较短的路径，证明很简单。

声明2：从s到t的所有最短路径都位于G'
证明：由于从s到t的所有最短路径长度为d，因此我们仅删除距s的距离比d长的节点}，我们只删除最短路径不需要的节点。

权利要求3：从s到t的所有最短路径都在G*中。
证明：假设我们在最短路径中删除了一些边(u,v)，并让该路径为s->...->x->u->v->y->...->t。请注意，路径v->y->..->t的长度为d-d(s,u)-1（假设d(s,u)最小）
但请注意，E*的构造，d(s,v) <= d(s,u)（否则(u,v)将不会被移除）。因此，路径s->...->v->y->...->t的距离为s：d(s,v) + d-d(s,u)-1 <= d(s,u) + d - d(s,u) -1 <= d-1 - 与d的最小值相矛盾。

权利要求4：G*中没有循环。
证明：假设G*：v1->v2->vk->v1中有一个周期。根据G'的定义，所有节点都可以从s到达。在不失一般性的情况下，让我们假设d(s,v1)对于所有其他d(s,vi)都是最小的（否则旋转索引以匹配此假设）。但是存在路径v1-> v2-> ...->＆gt; vk-> v1和d(s,v1)=d(s,v1)。这意味着至少对于此路径中的一个边(vi,vi+1) d(vi) >= d(vi+1) - 这与E*的构造相矛盾，并且G *中不存在该循环。

权利要求5：算法是正确的。

从Bellman-Ford的正确性开始，由于G*不包含负循环（根本没有循环），BF将根据w*中的G*找到权重最小的路径。根据{{1}}的{{1}}构造，此路径是最大权重的路径。由于w中的所有最短路径也存在于w*中（并且只有它们），因此该路径也是G中具有最大权重的最短路径。

<强> QED

Answer 2

如果你调整你的体重，你可以使用Dijkstra。

如果您的最佳路径必须是访问最少节点的路径，则可以使用高惩罚 p 来遍历每条边并减去实际权重：

w '= p - w

必须选择高于最高权重 w _max的惩罚，以防止 w '的负值，Dijsktra不会工作。它也必须足够高，以便选择真正最短的路径。 n 节点图的 p 的良好估计可能是：

p ≈ n · w _max

（编辑：我的原始答案建议使用每条边的倒数权重 w '= 1 / w 而不是实际权重< em> w 作为替代方案。这不一定会给你最短的路径，但是在穿越少数边缘时权重很高的路径。这个解决方案在很多情况下都不起作用。但是，它完全独立于惩罚方法，不使用倒数值。）

修改Dijkstra算法以找到权重最大的最短路径

2 个答案: