我有一个优化问题，在目标函数2中有多个变量，使模型成为二次方。
我目前正在使用zimpl来解析模型，并使用glpk来解决它。由于它们不支持二次编程，我需要将其转换为MILP。
。第一个变量是实数，在[0,1]范围内，第二个变量是实数，范围从0到inf。这个可以没有问题是整数。
目标函数中的关键部分如下所示：
max ... + var1 * var2 + ...
我在约束中遇到了类似的问题，但它们很容易解决。
我怎样才能在目标函数中解决这类问题？
答案 0 :(得分：13)
此形式的模型实际上称为双线性优化问题。线性化双线性项的典型方法是通过称为McCormick包络的方法。
考虑变量x和y，在最大化问题的目标中需要x*y。如果我们假设x和y受xL <= x <= xU和yL <= y <= yU限制，那么我们可以将x*y替换为w，数量的上限，具有以下约束（您可以看到派生here）：
w <= xU*y + x*yL - xU*yL
w <= x*yU + xL*y - xL*yU
xL <= x <= xU
yL <= y <= yL
请注意，这些约束在决策变量中都是线性的。 McCormick信封中有相应的下限，但由于你最大化它们在你的情况下并不重要。
如果你想在x*y上更紧密地绑定，你可以将其中一个变量（我将在这里使用x）的间隔分成范围[xL1，xU1]，[xL2，xU2] ,. ..，[xLn，xUn]，引入辅助连续变量{x1，x2，...，xn}和{w1，w2，...，wn}以及辅助二元变量{z1，z2，... ，zn}，它将指示选择了哪个x值范围。上面的约束可以替换为（我将显示索引1的情况，但是对于所有n个索引你需要这些）：
w1 <= xU1*y + x1*yL - xU1*yL*z1
w1 <= x1*yU + xL1*y - xL1*yU*z1
xL*z1 <= x1 <= xU*z1
基本上，只要z1 = 0（也就是未选择范围的这一部分），你将有x1 = 0和w1 <= 0，如果z1 = 1，你将拥有正常的McCormick包络（也就是这部分范围被选中）。
最后一步是从这些变量的范围特定版本中生成x和w。这可以通过以下方式完成：
x = x1 + x2 + ... + xn
w = w1 + w2 + ... + wn
你制作的n越大，你对双线性项的估计就越准确。但是，大的n值会影响求解模型的易处理性。
最后一个注意事项 - 你指出你的一个变量是无界的，但麦考密克包络需要两个变量的界限。你应该修复边界，求解，如果你的最佳值在边界，那么你应该用不同的边界重新求解。