生成稀疏矩阵的复杂性

Question

我有一个对称矩阵S（n * n），其中大约70％的数据是0。

对称矩阵

我想将对称矩阵转换为具有t行的稀疏矩阵。

从原始对称矩阵生成稀疏矩阵的时间复杂度是多少？

是O（n ^ 2），因为我必须遍历每一行/列交叉点并获得不是0的元素？

由于我正在处理对称矩阵，我可以说我的时间复杂度可以降低到O（（n *（n + 1））/ 2），因为在对称矩阵中a [i] [j] = a [j]的[I]？在这种情况下，如果我遇到[i] [j]为0，我可以说[j] [i] = 0.这可能会使我的循环减少大约一半。

Answer 1

当从对称矩阵的完整表示转换为稀疏表示时，您将需要扫描主对角线上方的所有元素（或在主对角线和下方对称）。对于（n×n）矩阵矩阵，这是需要扫描的（n ^ 2 + n）/ 2个条目。因此，您需要执行O（n ^ 2）工作，以确定需要输入稀疏矩阵的内容。

构造稀疏矩阵时，需要将原始矩阵中的所有非空条目存储到稀疏矩阵中。对于0矩阵，这不需要额外的工作，对于完全密集的矩阵，这需要（n ^ 2 + n）/ 2个插入操作。

因此，从对称矩阵转换为稀疏表示将始终需要O（n ^ 2）时间 - 事实上它需要Theta（n ^ 2）时间。