Question

我想用Python对矩阵进行对角化，这是我的脚本：

import scipy.linalg as lg
vp = lg.eig(A)      # eigen values and vectors 
D = N.diag(vp[0])  # diagonalisation of A from its eigen values
P=vp[1]          # such as A = P.D.P(-1)   
Pm1=lg.inv(P)

然而我怀疑A不是对角线的，但是这并不妨碍Python毫无困难地计算D，P和P（-1）......更重要的是，D中的系数是复数，是A中的人是真的吗？有没有办法检查这个数组是否可以对角线？

非常感谢提前

Answer 1

可对角化矩阵在C ^ nxn中是密集的。这对于浮点计算意味着舍入误差使得矩阵可对角化 - eig(A)的结果是eig(Ap)，其中|A - Ap| <= floating point error和Ap是可对角化的。计算特征值的标准数值算法将给出这样的结果。

真实矩阵的特征值可能很复杂，例如[1 -2; 1 1]。

如果使用精确算术，则可以完全可靠地检测不可对角化的矩阵;在浮点数中，您可以考虑对角化矩阵，即“关闭”＃34;不可对角化的那些是不可对角化的（参见例如https://dl.acm.org/citation.cfm?id=355912）。

编辑：通过计算特征向量矩阵的条件数w, V = np.linalg.eig(A); c = np.linalg.cond(V)，可以获得一个接近浮点非对角化的度量。如果c很大，大约1/eps ~ 10**16，则矩阵在数值上接近不可对角化。

Answer 2

您可以使用SymPy。它有一个函数is_diagonalizable。

检查矩阵是否是对角线的。

Answer 3

如果A不可对角化，则P中的向量将线性相关。但是，由于数值误差，它们可能非常接近线性相关。

例如，考虑

P = array([[1, 0],[1, 0.001]])

让

Pm1 = inv(P)

然后P * Pm1 - eye(2)将远离零

[[    0.     0.]
 [-1000.     0.]]

计算逆时，请始终查看矩阵的条件数。例如cond(P) = 2000.5这是一个非常大的数字。

同样对于某些矩阵，eig()由于数值误差而再次输出可能与特征值的真实列表相距甚远。

对于复杂的特征值，回想一下真实矩阵可能具有复杂的特征值，尽管它们将是复共轭对。由于实数场不是代数闭合的，除非矩阵A是对称的，否则你不能指望特征值总是真实的。

python：检查是否对角线矩阵

3 个答案: