我正在努力想出一种简单而有效的方法来创建一个与许多给定“样本”点相交的光滑表面。
对于表面上的任何X，Y点，我在4个方向中的每个方向上识别最多4个采样点（X上的下一个较高点和较低点，然后是Y轴）。鉴于这一点，我想要一种计算在4个样本点之间插值的Z值的方法。
当然，给定4个采样点中的任何一个的X，Y位置的算法应输出该点的Z值。另请注意，可能少于4个采样点。
我猜测4个样本点的Z值的某些函数，不知何故被样本点的距离反向偏置，但我无法弄清楚如何做到这一点。
任何人都有任何关于这种简单方法的想法吗？
答案 0 :(得分：10)
您可以通过构建Catmull-Rom样条曲线中的补丁来完成此操作。这些样条线将击中每个控制点，并且它们在一阶导数中是连续的（尽管不是第二个）。我也发现它们非常容易使用。数学很简单，直观，控制点略有变化。
在最高级别，每个补丁需要16个点（在数据集的边缘，您可以在同一个样条曲线中使用两次角点和边缘点。）
首先，您需要在4x4矩阵的每一行中对点 p [i] [j] 进行插值，以创建一组四个中间控制点 q [i ] 。这是我粗略的ASCII草图。
p00 p01 q0 p02 p03
p10 p11 q1 p12 p13
p20 p21 q2 p22 p23
p30 p31 q3 p32 p33
现在，您可以在这四个中间控制点中的每一个之间进行插值，以在表面上找到最终的花键点。
Here is a construction of the Catmull-Rom spline四点。在此示例中，您使用两侧的控制点 p [i-1] 和 p [i] 进行插值 p [i-2] 和 p [i + 1] 。 u 是从0到1的插值因子。 τ定义为样条上的张力，会影响花键表面与控制点的紧密程度。
| 0 1 0 0 | | p[i−2] |
|−τ 0 τ 0 | | p[i−1] |
p(u) = 1 u u2 u3 | 2τ τ−3 3−2τ −τ | | p[i] |
|−τ 2−τ τ−2 τ | | p[i+1] |
注意：如何在Stackoverflow的gui中展示它并不是很明显，但 u2 和 u3 应该代表 u平方和<分别是。
答案 1 :(得分：4)
您可以使用双线性/双三次插值，但可以使用三个方向（分别为三线性/三线性）。如果您了解这些插值形式如何工作，那将是非常重要的。有关详细信息，请参阅Tricubic Interpolation on Wikipedia。
答案 2 :(得分：1)
您正在寻找表面插值还是网格足够？
对于表面插值，我看到其他人建议使用三角测量（例如使用它：http://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation）
创建网格：我的一位同事使用热方程（http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation）来计算给定样本点之外的像素值。这产生了极其逼真的地形表面，并行化很简单。
答案 3 :(得分：0)
使用catmull-rom补丁
答案 4 :(得分：0)
如果你想要对该点进行简单的线性插值，那么中心点的Z值就是4个相邻Z值的平均值，假设Y和X的距离都是对称的。
如果距离不对称，但中心点始终位于相同的X和Y线上，则可以计算Y和X插值，最终值是平均值。
因此Zc将是：Zc =（Zx1 + x *（Zx2-Zx1）/（x2-x1）+ Zy1 + y *（Zy2-Zy1）/（y2-y1））/ 2，其中x和y距离x1和y1。
答案 5 :(得分：0)
当使用在问题中建议的方案进行插值时的问题，其中从散乱集中选择最近邻居的一些子集，结果是结果不需要是连续的。
想一想。假设我沿着（x，y）平面的一些平滑，连续的路径移动。只要4个最近的邻居不改变，插值将是平滑的，但是你选择这样做。但是，在某些时候，最近邻居的子集会突然改变。此时，您必须使边界内的插值一致。最好是使用自变量集的三角测量。这确保了数据的凸包内的连续（线性）插值。通过更多的工作，也可以通过三角测量实现更高阶的插值。
如果您碰巧遇到地质统计学，径向基函数通常也可用于插值或克里金法。由于您正在研究基于距离的方法，因此请考虑径向基函数。例如，搜索“逆多次插值”。