解决多选多维背包问题

Question

我正在尝试解决多选多维背包问题的一些（相对容易的）实例（其中有一组项目，其中每组只能获得一个项目，并且项目的权重也是多维的作为背包容量）。关于配方和解决方案，我有两个问题：

1. 如果两个组的项目数不同，是否可以填写项目数量较少的项目，其中项目的利润和权重为零，能够以矩阵形式表示问题？这会影响解决方案吗？具体来说，假设我有优化程序，其中第一组（项目集）可能有三个候选项目，第二组有两个项目（不同于三个），即这些项目具有以下形式：

最大化（超过x_ij）{v_11 x_11 + v_12 x_12 + v_13 x_13 +

                 v_21 x_21 + v_22 x_22}

受{w ^ i_11 x_11 + w ^ i_12 x_12 + w ^ i_13 x_13 + w ^ i_21 x_21 + w ^ i_22 x_22＆lt; = W ^ i，i = 1,2

        x_11 + x_12 + x_13 = 1, x_21 + x_22 = 1, x_ij \in {0,1} for all i and j.

在这种情况下是否可以添加值为v_23 = 0且w ^ 1_23 = W ^ 1，w ^ 2_23 = W ^ 2的人工项x_23，以获得完整产品v_ij x_ij（i = 1,2 j = 1,2,3）？

1. 鉴于（1）是可能的，有没有人试图使用一些开源优化包如cvx来解决实例？我知道cplex，但很难找到非学术性的，我不确定GLPK是否支持变量组。