Question

我已经给出了一个范围 L到R 。我必须找出L到R之间有多少个数字，以便数字具有奇数个除数。

1<L<R<10^18

由于L和R非常高，因此循环简单会导致超时我发现二进制搜索可用于解决此问题。

我无法理解二元搜索如何帮助查找具有奇数的数字的数字除数。

代码：

int find (long long n) {
    int low,high,mid;
    long long v1,v2;
    low = 1;
    high = 1e9 + 1;
    if (n == 0) {
        return 0;
    }
    while (low <= high) {
        mid = (low + high) / 2;
        v1 = mid * 1LL * mid;
        v2 = (mid + 1) * 1LL * (mid + 1);
        if (v1 <= n) {
            if (v2 > n) {
                return mid;
            } else {
                low = mid + 1;
            }
        } else {
            high = mid - 1;
        }
    }
}

和
答案：ans = find(r) - find(l - 1); 请在数论中解释二元搜索的概念

Answer 1

该算法基于一个简单的事实，即为了得到奇数个除数，数n必须是一个完整的正方形。否则，对于每个除数k，还有另一个不同的除数n/k，所以你总是会有偶数除数。此算法只计算1和提供的n（包括）之间的整数平方数，实际上是integer square root（floor(sqrt(n))）。所以它使用二进制搜索找到平方根。如果您的平台/语言上的sqrt(n)方法足够精确，您可以像这样解决问题：

ans = floor(sqrt(r)) - floor(sqrt(l-1));

通常double类型没有提供足够的精度，因此结果可能少一个或多一个。可能这就是使用二进制搜索的原因。不过，你仍然可以使用sqrt。只需计算之后的平方，如果需要，可以将结果调整为1（这样会快得多）。或者你可以使用牛顿方法（它会比调整时sqrt慢，但比二分搜索快得多。）

Answer 2

对于数字 N ，假设 d 是 N 的除数。然后总是有一个 N / d 的数字，它可以划分 N 。只有在某些情况下d = (N/d)

时，数字才有奇数个除数

实施例：如果N = 16

如果除数d=1则N/d = 16

如果除数d=2则N/d = 8

如果除数d=4则N/d = 4

所以，如果我们想知道 R 和 L 之间有奇数除数的数字，我们需要知道这个范围之间的平方数是多少

小于或等于R的平方数是 = square_root（R）

小于的平方数（以L为代表）L是 = square_root（L-1）

So answer = floor(square_root(R))-floor(square_root(L-1))

由于我们只需要整数部分，所以我们采取行动。

使用二进制搜索

2 个答案: