Question

我获得了一组球，我的最终目标是找到至少一半的球是否是相同的颜色。我每次只能挑两个球并确定它们是否是相同的颜色。那么如何设计一种需要O（n log n）确定才能解决这个问题的分治算法呢？如果有人对这个问题有任何想法，那么非常感谢你！

Answer 1

也许你可以倒退 - 如果你不知道n(log n)比较中的答案，那么不到一半的球是相同的颜色。对它们进行合并排序分组......

r g r b r y r r  // worst case arrangement

rg rb ry rr      
    ↓            // 3 * (n / 4) comparisons
rr gb rrr y      
    ↓            // 3 * (n / 8) comparisons
rrrrr gby

Answer 2

我假设您可以对颜色进行排序（例如，您可以将颜色的哈希值计算为可以排序的整数;我无法想到任何无法进行哈希处理的数据类型）。然后，您可以在O(n log n)时间内按颜色对球进行简单排序，然后在已排序的集合中扫描一次，并确定连续相同颜色的球的运行。你的答案是，最大运行中的球数是否>球数。

修改

问题实际上是O（n）。对于n个球，使用具有O（1）插入的哈希表。无论何时已经存在，都要增加哈希表组中元素的计数，并跟踪其他地方的最大组计数。

每当最大计数达到n / 2时，您甚至可以提前退出，这应该是随机集上平均运行时间的一半。

<强> EDIT2

O（n ^ 2）
的示例性证明的草图
我坚信，只允许进行相等比较时，没有O（n log n）解决方案。看下面的例子，它应该产生真实，正好有一半As，其余的都是不同的：

第一次划分

n = 16 AAAAAAABCDEFGHIA AAAAAAAB CDEFGHIA AAAA AAAB CDEF GHIA AA AA AA AB CD EF GH IA

现在征服了。我们需要在每个征服步骤中找到所有组，因为每个组都可能与另一个大组合并，因此它是所有组中的大多数。

在这个例子中，左半边的A显然是赢家，但我们在右半边需要一个额外的A.由于右半部分在分而治之设置中不知道左半部分，因此右侧也会尝试在最终合并之前找到最大的组，以n / 2组大小为1结束。

在下面的表示法中，我使用字母前面的数字表示该大小的已找到组。

2A 2A 2A 1A1B 1C1D 1E1F 1G1H 1I1A 1+1+1+1 +1+1+1+1 =4+4 =8 4A 3A1B 1C1D1E1F 1G1H1I1A 1*1+2*1 +2*2+2*2 =3+8 =11 7A1B 1C1D1E1F1G1H1I1A 1*2 +4*4 =2+16=18 8A1B1C1D1E1F1G1H1I 2*8 =16 53 n log2 n = 16*4=64

在右侧，我注意到合并组所需的比较次数。要将具有x组的集合和具有y组的集合合并，需要进行O（x y）比较，当两个集合是不相关时（即将一组中的每一组与另一组中的每一组进行比较）。在这个例子中需要53个比较，它低于64的n log2 n。左侧的比较表现得非常线性。如果你分析你得到的模式（对于n> 7）

Log2(n)-2+ Sum{i=0..Log2(n)}(2^i) = n/2 - 3 + Log2(n)

但等等，在正确的比较数量上有一个平方项。我们来研究一下。每行（最后一次合并除外）使前一行加倍，并以（n / 4）^ 2比较结束。这给了

Sum{i=0..Log2(n)-2}( (n/4)^2 (1/2)^i ) = 1/8 (n^2 - 2*n)

事实上，通过这种分而治之的方法，我们最坏情况下的比较数是O（n ^ 2），这似乎是合乎逻辑的。如果所有条目都不同，并且我们每次只能测试两个是否相等，我们需要对每个条目进行测试，以找出是否真的没有对。

不知道我是否遗漏了什么东西，但是当我只允许使用comarisons时，问题似乎是在O（n log n）中无法解决的问题。

Answer 3

我们可以将您的问题减少到以下。

如果给定组中的球按颜色分组，您希望找到最大组是否至少是该组大小的一半。

这更容易递归地解决。（此问题未针对空集定义，请单独处理。）

class Group { // with appropriate constructors
    int size;
    Color color;
}

Group findLargestGroupWithSameColors(Set<Ball> ballSet) {
    if (ballSet.size() > 1) {
        // Divide set into two (preferably equal) sets.
        Group first = recursive call on first half.
        Group second = recursive call on second half.
        if (first.color.equals(second.color)) {
            return new Group(first.color, first.size + second.size);
        } else {
            if (first.size > second.size) {
                return first;
            } else {
                return second;
            }
        }
    } else {
        return single element's color and size = 1
    }
}

祝你好运

Answer 4

每个球（相同或不同）之间的比较可以在这样的图表中显示：

    A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L
A
B   =
C   .  .
D   .  .  !
E   .  .  .  .
F   .  .  .  .  !
G   .  .  .  .  .  .
H   .  .  .  .  .  .  =
I   .  .  .  .  .  .  .  .
J   .  .  .  .  .  .  .  .  !
K   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
L   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  =

=含义相等，!含义不同，.含义尚未检查。

此示例中显示的情况是12个球;在这种情况下，有66个比较。当然，您不需要进行66次比较来填写图表;如果A = B且B = C，则可以推导出A = C.此外，您只需填写图表的一部分即可知道半球是否具有相同的颜色。问题是，哪种比较顺序可以快速提供最多的信息。

如果两对相等，如图中的AB和GH，则比较每对中的一对，例如A和G也会告诉你AH，BG和BH是否相等：

    A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L
A
B   =
C   .  .
D   .  .  !
E   .  .  .  .
F   .  .  .  .  !
G   =  =  .  .  .  .
H   =  =  .  .  .  .  =
I   .  .  .  .  .  .  .  .
J   .  .  .  .  .  .  .  .  !
K   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
L   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  =

将来自相同对的球与来自不同对的球（如AC（A = B，C！= D））进行比较，将告诉您AD，BC和BD是否相等，但仅在A = C时;否则AD和BD仍然是未知的。

    A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L
A
B   =
C   !  !
D   ?  ?  !
E   .  .  .  .
F   .  .  .  .  !
G   .  .  .  .  .  .
H   .  .  .  .  .  .  =
I   .  .  .  .  .  .  .  .
J   .  .  .  .  .  .  .  .  !
K   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
L   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  =

比较来自两个不同对的球，如CE（C！= D，E！= F），如果C = E，则不会告诉你DF，如果C！=不会告诉你CF，DE或DF E.

    A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L
A
B   =
C   .  .
D   .  .  !
E   .  .  !  ?
F   .  .  ?  ?  !
G   .  .  .  .  .  .
H   .  .  .  .  .  .  =
I   .  .  .  .  .  .  .  .
J   .  .  .  .  .  .  .  .  !
K   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
L   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  =

因此，比较两个相等的对比比较一个相等和不同的对更有效，而这反过来比比较两个不同的对更有效。

因此，最佳算法类似于：

比较两个球：AB，CD，EF ......，将球分成相等和不同的球。
然后通过比较每对中的一个球，将相等的对彼此进行比较，可能导致彼此不同的较大的相等组。
然后将不同的对与这些较大的相等组进行比较，从大到小。
继续这样做，直到其中一半球在一组中，或者没有足够的单球留下与最大组的关系仍然未知。

你必须弄清楚这种方法的细节;我可以看到几种选择，但没有明显的最佳选择。基本规则应该始终是：首先将对，四重奏，八位字节......与最大数量的相等球进行比较。

设计一种采用O（n log n）确定的分而治之算法

4 个答案: