递归算法到简单的计数问题

Question

一件物品花费1美元，当我们返回3件物品的包装时，我们又得到一件物品。 例如：如果我们有15美元，我们可以买22件物品

1. 15件
2. 使用5套3包装的5件物品
3. 1项使用3个包装（2个包装额外）
4. 使用2个额外包装+最后一个包装的另外1个项目。

我可以写一个程序来计算nr。物品可以用n美元购买。但是如何使用递归关系来解决它？

Answer 1

假设你不能退回包装，你会用n美元购买n件商品。现在，由于返回包装器，你会得到多少？在第一次迭代中，您将获得（n / 3）更多项目，并且在使用这些项目之后，您将拥有（n％3）+（n / 3）个包装器（不要忘记n％3 - 您可能没有返回所有包装器）。现在从（n％3）+（n / 3）项中返回包装器可以获得多少项？表示m =（n％3）+（n / 3），然后得到（m％3）+（m / 3）。然后你可以从这些项目中继续返回包装器等等。让我们用 ₀ = n来表示你在第一次购买后拥有的包装数量，然后用 _{i + 1} 表示返回后你将拥有的包装数量来自 _i 的包装器。然后你会有一个 _{i + 1} = a _i ％3 +一个 _i / 3这是你的递归关系。

请注意， _i 表示每次迭代后您拥有的包装数量，但添加数字 _i 将不会产生您获得的项目总数但会更多（这是因为额外的 _i ％3）。在实施解决方案时，您必须注意这一点。

Answer 2

@Ivaylo，谢谢你的提示。我一直在寻找优雅的递归关系。我希望我能得到它。 count（n，n）的调用是必需的解决方案。

#w_l      : Wrappers left after each iteration
#cnt_items: Total Count of of items got after each iteration

count(w_l,cnt_items) = count(w_l/3+w_l%3,cnt_items+w_l/3)#wl >= 3
                     = cnt_items                         #w_l <3