指称语义，证明定点迭代导致最小的固定点

Question

我正在研究denotational semantics上的Haskell wikibook部分，我有点坚持这个练习：

  

证明通过定点迭代开始获得的固定点   也是最少的一个，它比任何其他都小   固定点。 （提示：是我们的cpo中最少的元素，g是   单调）。

以下陈述定义了导致练习的概念的核心（我认为）：

其中f是阶乘函数，并且显示为g的固定点，假设g是连续的。

我认为我基本上理解了g（f）= f的部分，但我真的不知道该练习是做什么的。根据我的理解，阶乘函数f是最不固定的点（至少基于运算符）但我对它（{直观地）将函数与{{3}进行比较意味着什么并不清楚？ ，更不用说除了示例中显示的最小固定点之外我将如何找到固定点。

我理解比其他所有东西都少，而且我理解由于g（x）是单调的，如果我将它应用于两个东西，其中一个小于另一个，结果仍然会服从这个顺序。

我想我会以一些函数f'和假设开始证明。如果是这种情况，通过g的单调性质，我可以显示。如果我可以证明必须g（f'）= g（f）或f'= f我认为证明是完整的但我不知道如何表明。

Answer 1

设x为序列bot, g(bot), g(g(bot)), ...的上/下限。设y为g（单调）的任意固定点。我们想要证明x <= y。

通过对迭代次数的归纳，很容易看出序列中的每个元素都是<= y。实际上，它对于bot来说很简单，如果z是<= y的单调性，我们会得到g(z) <= g(y) = y。

因此，y是序列的上限。但x最少，x <= y。 QED。