我想在浮点运算中实现以下等式：
公式：sqrt（（a-b）^ 2 +（c-d）^ 2 +（e-f）^ 2）
我想知道如何确定尾数的宽度如何影响结果的准确性？这如何影响结果的准确性？我想知道确定这个的正确数学方法是什么？
例如，如果我执行以下操作，在每个步骤之后如何影响准确度？
以下是步骤：
步骤1 ，在32位单精度浮点中执行以下计算：x =（a-b），y =（c-d），z =（e-f）
第2步，将三个结果四舍五入为16位的尾数（不包括隐藏位），
第3步，执行以下平方操作：x2 = x ^ 2，y2 = y ^ 2，z2 = z ^ 2
第4步，将x2，y2和z2舍入到10位的尾数（小数点后）。
第5步，添加值：w = x2 + y2 = z2
第6步，将结果舍入为16位
第7步，取平方根：sqrt（w）
第8步，舍入到20个尾数位（不包括尾数）。
答案 0 :(得分：1)
有多种方法可以表示浮点数的错误。存在相对误差（a *（1 +ε）），略微不同的ULP误差（a + ulp（a）*ε）和相对误差。它们中的每一个都可用于分析错误，但都有缺点。为了获得合理的结果，您通常必须考虑在浮点计算中精确发生的事情。我担心“正确的数学方法”需要做很多工作，相反，我会给你以下内容。
简化的基于ULP的分析
以下分析非常简洁，但它确实能让您对最终出现的错误感到满意。只是将它们视为示例。
<强>（A-B） 操作本身最多会出现0.5 ULP错误（如果舍入RNE）。 与输入相比，此操作的舍入误差可能很小，但如果输入非常相似并且已经包含错误，那么除了噪声之外，您可能只剩下其他内容了！
（适用一个^ 2） 此操作不仅会使输入倍增，还会使输入错误倍增。如果处理相对误差，则意味着至少将误差乘以另一个尾数。有趣的是，乘法器中有一个小的归一化步骤，这意味着如果乘法结果超过两个边界的幂，则相对误差减半。最糟糕的情况是输入乘以低于该值，例如有两个输入几乎是sqrt（2）。在这种情况下，输入错误乘以2 *ε* sqrt（2）。如果额外的最终舍入误差为0.5 ULP，则总误差为~2 ULP。
添加正数 这里最糟糕的情况只是输入错误加在一起，加上另一个舍入错误。我们现在处于3 * 2 + 0.5 = 6.5 ULP。
<强> SQRT sqrt的最坏情况是输入接近例如1.0。该错误大致只是通过，加上一个额外的舍入错误。我们现在处于7 ULP。
中间舍入步骤 插入中间舍入步骤需要更多的工作。 您可以将这些模型建模为与您正在四舍五入的位数相关的错误。例如。从RNE引入23到10位的尾数相对于23位尾数引入额外的2 ^（13-2）ULP误差，或者对新尾数引入0.5 ULP（你将拥有如果你想使用它，请缩小你的其他错误。）
我会留给你来计算你的详细例子的错误，但正如评论者指出的那样，舍入到10位尾数将占主导地位，你的最终结果将精确到大约8个尾数位。