Question

所以，我在接受采访时被问到这个问题。给定一组数字（不一定是不同的），我必须找到给定数字组的所有可能子集的GCD的乘法。

我告诉面试官的方法是：

1. Recursively generate all possible subsets of the given set.
2a. For a particular subset of the given set:
2b. Find GCD of that subset using the Euclid's Algorithm.
3. Multiply it in the answer being obtained.

假设空集的GCD为1。但是，如果n很大，那么将有2 ^ n个子集，这将不能最佳地工作。我该如何优化呢？

Answer 1

假设每个数组元素都是1..U范围内的整数，对于某些U.

设f（x）为GCD（x）的子集数。该问题的解决方案是所有不同因子1＆lt; = d＆lt; = U的总和d ^ f（d）。

设g（x）是可被x整除的数组元素的数量。

我们有

f(x) = 2^g(x) - SUM(x | y, f(y))

我们可以通过枚举每个数组元素的所有除数来计算O（n * sqrt（U））中的g（x）。通过以直接的方式枚举x的每个倍数，可以在O（U log U）中从高值到低值计算f（x）。

Answer 2

先决条件：

费马的小定理（也有一个广义定理），简单的数学，模幂运算

说明：符号：A []代表我们的输入数组

显然约束1＆lt; = N＆lt; = 10 ^ 5，告诉我你需要一个O（N * LOG N）解决方案，不要试图认为DP因为它的复杂性根据我将是N * max（A [i]）即约。 10 ^ 5 * 10 ^ 6。为什么？因为你需要子集的GCD来进行转换。

好的，继续前进

我们可以考虑使用相同的GCD对子集进行分组，以便提高复杂性。

所以，让迭代器从10 ^ 6递减到1试图用GCD制作集合！

现在用GCD制作子集（i）我可以用任何i * j来组合它，其中j是非负整数。为什么？

GCD（i，i * j）= i

现在，

我们可以为任何元素构建一个频率表，因为数字是可以访问的！

现在，在比赛期间，我所做的是，将gcd（i）的子集数保持在f2 [i]

因此我们所做的是来自j * i的所有元素的总和频率，其中j从1变化到地面（i / j）现在带有公约数（而不是GCD）的子集为i（2 ^ sum - 1）。

现在我们必须从这个总和中减去GCD大于i的子集，并将i作为gcd的公约数作为i。

这也可以在同一个循环中通过取f2 [i * j]求和，其中j从1变化到地面（i / j）

现在GCD的子集i等于2 ^ sum -1 - f2 [ij]的总和恰好乘以i（子集的数量与GCD的次数i次）即幂（i，2 ^ sum -1 - f2的总和[ij]）。但现在计算这个指数部分可以溢出，但你可以用给定MOD-1的％，因为MOD是素数！（费马小定理）使用模幂运算

以下是我的代码片段，因为我不确定我们现在可以发布代码了吗？

for(i=max_ele; i >= 1;--i)
            {
                to_add=F[i];
                to_subtract = 0 ;
                for(j=2 ;j*i <= max_ele;++j)
                    {
                        to_add+=F[j*i];
                        to_subtract+=F2[j*i];
                        to_subtract>=(MOD-1)?(to_subtract%=(MOD-1)):0;
                    }

                subsets = (((power(2 , to_add , MOD-1) ) - 1) - to_subtract)%(MOD-1) ;

            if(subsets<0)
                subsets = (subsets%(MOD-1) +MOD-1)%(MOD-1);

            ans  = ans * power(i , subsets , MOD);
            F2[i]= subsets;
            ans %=MOD;
        }

我觉得我使用F2让事情变得复杂，我觉得我们可以在没有F2的情况下通过不采用j = 1来做到这一点。但是没关系我没想到它这是我是如何设法获得AC的。

查找一组数字的GCD？

2 个答案: