Question

我正在学习算法和数据结构课程。

今天，我的教授说下面算法的复杂性是2 ⁿ。

我一直等到课程结束，接近他并告诉他我其实认为这是一个O(n)算法，我做了计算来证明它，并想向他们展示，但他继续说没有，没有给我任何令人信服的解释。

该算法是递归的，并且具有这种复杂性：

       { 1         if n=1
T(n) = {
       { 2T(n/2)   otherwise

我将它计算为O(n)，这样：

让我们展开T(n)

T(n) = 2 [2 * T(n/(2^2))]
     = 2^2 * T(n/(2^2))
     = 2^2 * [2 * T(n/(2^3))]
     = 2^3 * T(n/(2^3))
     = ...
     = 2^i * T(n/(2^i)).

当T内的术语为1时，我们停止，即：

n /（2 ⁱ）= 1 ==＆gt; n = 2 ⁱ ==＆gt; i = log n

替换后，我们获得

T(n) = 2^log n * T(1)
     = n * 1
     = O(n).

由于这个算法从Merge Sort的课程中跳了出来，我注意到Merge Sort，其中出了名的O(n log n)复杂度为2T（n / 2）+Θ（n）（明显高于2T（ n / 2）），我问他为什么，复杂度较低的算法得到更高的大O.因为，在这一点上，它对我来说是直观的。他用语言回答道，“如果你认为这是违反直觉的，你的数学就会出现严重问题。”

我的问题是：

我的示威中有谬误吗？
最后一种情况不会违反直觉吗？

是的，这也是一个发泄。

Answer 1

证明 - 1

这种复发属于Master Theorem,中的3个

a = 2;
b = 2;和，
c =-∞

因此Log _b a = 1，大于-∞。因此，运行时间Θ（n ¹）=Θ（n）。

证明 - 2

直观地说，您将大小 n 的问题分解为2个大小 n / 2 的问题，并且加入两个子问题的结果的成本是0（即复发中没有恒定的成分。

因此，在最底层，你有 n成本1 的问题，导致 n * O（1）的运行时间等于<强> O（n）的

编辑：为了完成此答案，我还会为您提出的具体问题添加答案。

我的示威中有谬误吗？

没有。这是对的。

最后一种情况不会违反直觉吗？

绝对是违反直觉的。见上面的Proof-2。

Answer 2

您明确正确的是，满足该递归关系的函数T(n)是O(n)。它基本上是显而易见的，因为它表示给定问题的复杂性是问题的两倍，而问题只有一半。你无法获得更多的线性。例如，使用线性搜索搜索1000个元素列表的复杂性是搜索包含500个元素的列表的两倍。

如果你的教授也是正确的，那么也许你对于复杂性的复杂性是不正确的。或者，有时对于如何测量输入大小存在一些混淆。例如，整数n是指定它所需的位数的指数。例如，整数n的强力试验除法为O(sqrt(n))，这比O(n)要好得多。这与蛮力因子分解基本上没有价值的事实相矛盾的原因是破解RSA是因为比如说256位密钥，相关的n大约是2^256。

Answer 3

您在计算给定关系的时间复杂度时是正确的。如果我们在n（我们应该）测量输入大小，那么您的教授声称时间复杂度为2^n是错误的。

您应该与他讨论并清除您可能存在的任何误解。

这种递归算法的重要性是什么？

3 个答案: