Question

有一个有n个顶点的树。我们被要求计算多个树S的最小大小，例如对于树中的每个边（u，v），至少有下列之一：

u∈S
v∈S
S中至少有两个顶点，每个顶点都与u或v相邻。

由于S是多重集，因此顶点可能多次出现在S中。

我的预感如下。首先，我们考虑以下事实：在最优解决方案中，每个顶点在S中最多两次。因此，我们可以在后序中遍历树并计算顶点不在最优S中的三种情况的结果，它只是一次而且它是两次。

不幸的是，我无法将子问题之间的关系联系起来，我不确定这个想法是否正确。

欢迎提示或参考。非常感谢。

Answer 1

表示这样的树（未经测试的Haskell）。

> data Tree a = Node a
>             | Cons (Tree a) (Tree a)

树

是

(Cons (Node 2)
      (Cons (Cons (Node 5) (Node 3))
            (Cons (Node 4) (Node 1)))) :: Tree Int .

这是一个自下而上的验证功能。

> type ZeroOneOrTwo = Int
> data Result = Failure
>             | Success { numDist0Provided :: ZeroOneOrTwo
>                       , numDist1Provided :: ZeroOneOrTwo
>                       , numDist1Required :: ZeroOneOrTwo
>                       }
>
> plus, minus :: ZeroOneOrTwo -> ZeroOneOrTwo -> ZeroOneOrTwo
> x `plus` y = min 2 (x + y)
> x `minus` y = max 0 (x - y)
>
> evaluate :: Tree ZeroOneOrTwo -> Bool
> evaluate t = case evaluate' t of
>   Failure -> False
>   s -> 0 == numDist1Required s
>
> evaluate' :: Tree ZeroOneOrTwo -> Result
> evaluate' (Node x) = Success { numDist0Provided = x
>                              , numDist1Provided = 0
>                              , numDist1Required = 0
>                              }
> evaluate' (Cons t1 t2) = case (evaluate' t1, evaluate' t2) of
>   (Failure, _) -> Failure
>   (_, Failure) -> Failure
>   (s1, s2) ->
>     if numDist0Provided s2 < numDist1Required s1 then Failure
>       else Success { numDist0Provided = numDist0Provided s2
>                    , numDist1Provided = numDist1Provided s2 `plus` numDist0Provided s1
>                    , numDist1Required = max (numDist1Required s2 `minus` numDist0Provided s1)
>                                           (if 0 < numDist0Provided s1 || 0 < numDist0Provided s2 then 0
>                                              else 2 `minus` (numDist1Provided s1 `plus` numDist1Provided s2))
>                    }

我将相应的线性时间DP留作练习。

一个有趣的图形任务

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