使用动态编程来查找总和最接近给定数字M的数字子集

Question

给定一组n个正整数a1，a2，... a3和另一个正整数M，我将找到A的数字的子集，其总和最接近于M.换句话说，我' m试图找到A的子集A'，使得绝对值| M - Σa∈A'|最小化，其中[Σa∈A'a]是A'数的总和。我只需返回解决方案子集A'的元素之和，而不报告实际的子集A'。

例如，如果我们将A设为{1,4,7,12}并且M = 15.那么，解决方案子集是A'= {4,12}，因此算法只需要返回4 + 12 = 16作为答案。

应该运行问题的动态编程算法 最坏情况下的O（nK）时间，其中K是所有A的总和。

Answer 1

构建一个大小为n * K的动态编程表，其中

D[i][j] = Can you get sum j using the first i elements ?

您可以使用的递归关系是：D[i][j] = D[i-1][j-a[i]] OR D[i-1][j]如果您认为可以添加或保留第i个元素，则可以派生此关系。

时间复杂度：O（nK）其中K =所有元素的总和

最后，你迭代你可以获得的整个可能的总和，即j = 1..K的D [n] [j]。哪个最接近M将是你的答案。

Answer 2

对于动态算法，我们

1. 定义我们将使用的值

这里的值集实际上是一个表。

对于这个问题，我们将值DP [i，j]定义为我们是否可以使用前i个元素获得和j的指标。 （1表示是，0表示否）

这里0＆lt; = i＆lt; = n，0＆lt; = j＆lt; = K，其中K是A中所有元素的总和

1. 定义递归关系

DP [i + 1，j] = 1，if（DP [i，j] == 1 || DP [i，j-A [i + 1]] == 1）

否则，DP [i + 1，j] = 0。

不要忘记在第一时间将表初始化为0。这解决了边界和无关紧要的情况。

1. 计算您想要的值

   通过自下而上的实施，您最终可以填写整个表格。

现在，事情变得容易了。您只需要在表中找到与M值最接近的值。

这里，只需要处理DP [n] [j]，因为n覆盖了整个集合。找到距离M最近的j，其值为1.

时间复杂度为O（kn），因为你总共迭代k * n次。