二分图中边缘不同路径的数量

Question

我们有一个二分图，其中集合A有n个顶点，集合B有n个顶点。

同样，A组中的每个顶点都有k个边来设置B，而B组中的每个顶点都有k个边来设置A.

有一个特殊的顶点 s ，它包含要设置A的所有顶点的边，以及一个特殊的顶点 t ，它具有B中所有顶点的边。

如何证明从s到t有k个边缘不同的路径？

我面临的问题是，它要求给出上面提到的图形（减去顶点s和t），我需要证明如果在每一轮我以一种我能够的方式从A到B去除所有边缘不要从相同的顶点移除多个边缘，有一种方法可以执行此移除操作，以便A和B在k轮中断开连接。

Answer 1

  

同样，A组中的每个顶点都有k个边来设置B和每个顶点   set B有k个边来设置A.

=＆GT; A中存在至少k个顶点，B中至少存在k个顶点。（I）

现在我们使用：

  

有一个特殊的顶点，它有所有顶点的边来设置A，   和一个特殊的顶点t，它包含B中所有顶点的边。

（我们将调用（II））以显示从k到s必须至少有t边缘不相交路径。

考虑以下删除过程：

1. 从s转到A中的顶点v_a。

2. 从v_a转到B中的顶点v_b。

3. 从v_b转到t。

4. 删除此路径上的所有边缘（以确保我们以后不会重复使用它们）

注意：一个此类删除回合恰好对应于从s到t的路径。

现在：我们可以至少k次重复此删除过程。为什么？

因为在k-1轮后，由于（I），A中必须至少保留一个顶点v_a_last。由于（II），可以从s到达该顶点。此顶点v_a_last必须在B中至少有一个相邻的顶点v_b_last，我们还没有出现v_a_last在k中有B个邻居但我们有到目前为止，我们最多只发现了k-1个k-1，因为到目前为止我们只进行了v_b_last次删除。由于到目前为止我们还没有v_b_last，因此t到k的边缘仍然必须在图表中。因此，在s轮次中，我们可以从v_a_last到v_b_last到t到k-th，这是来自{s边缘不相交的路径1}}到t。