我不明白这种情况。
f（n）∈O（g（n））， g（n）∈Θ（f（n））
对于这些情况，为什么以下是正确答案。
f（n）＆lt; = g（n）所有n> 1，既不总是真或假
g（n）∈Ω（f（n）），始终为真
f（n）＆lt; =Θ（g（n）），始终为真
我的逻辑是因为g（n）∈Θ（f（n）），g（n）和f（n）必须具有相同的最高功率（例如：n = n，n ^ 2 = n ^ 2）。在这种情况下，所有3个陈述都不是真的吗？
我不明白为什么第一个既不是真或假，第三个总是如此。
答案 0 :(得分：1)
Big-O，Big-Ω和Big-Θ符号在数学中描述了函数的渐近行为，分别为上限，下限和紧束（上限和下限）。在SE上，在编程的上下文中，我们通常使用这些符号来描述算法的渐近行为，关于算法要解决的问题的大小（通常这个大小用n表示）。
为了回答你的问题，我们将在渐近（/限制）行为或函数的背景下对待这个主题。让我们逐一介绍f（n）和g（n）的两个属性和三个语句。
属性i） f（n）∈O（g（n））
鉴于是
f(n) ∈ O(g(n)).
对于某些常数k> 0，（g的主导项）g（n）提供f（n）的渐近行为的上界，即
f(n) < k*g(n), n sufficiently large. (*)
作为主导词我的意思的一个简单例子：如果g（n）是一个多项式，我们有
O(g(n)) = O(a_0 + a_1*n + ... + a_j*n^j) = O(n^j),
，即渐近显性项n ^ j。
属性ii） g（n）∈Θ（f（n））
鉴于是
g(n) ∈ Θ(f(n)).
对于某些常数k_1> 0且k_2> 0，k_1 * f（n）和k_2 * f（n）分别对g（n）的渐近行为提供下限和上限，即
k_1*f(n) < g(n) < k_2*f(n), n sufficiently large. (**)
同样，正如我们描述的渐近行为一样，它确实是g（n）和f（n）的主要术语。
从现在开始假设i）和ii）两个都持有，因为所有足够大的n
我们只转到你的三个陈述。
声明a） f（n）＆lt; = g（n）所有n＆gt; 1，总是为真或假
首先，给定i）和ii），我们不能得出f（n）和g（n）对“n小于n的足够大”的行为的任何结论，即，我们不能说任何关于对于所有n> 1 ，f（n）和g（n）。 i）和ii）中的性质仅描述f（n）和g（n）的渐近行为。如果我们将语句调整为
f(n) <= g(n) for all sufficiently large n; either always true or false,
我们可以分析一下。假设以下成立（对于n足够大）：
f(n) <= g(n). (a1)
对于足够大的n，我们也知道（*）和（**）成立，即
(*) f(n) < k*g(n), for some constant k>0, (a2)
(**) f(n) < (1/k_1)*g(n), for some constant k_1>0, (a3)
g(n) < k_2*f(n), for some constant k_2>0, (a4)
由于（a1）通过假设保持，我们可以通过选择一些k =（1 / k_1）> 1来认为（a2）和（a3）是冗余的。这给我们留下了
f(n) <= g(n) < k_2*f(n), for some constant k_2>0. (a1, a4)
这只是上面的属性ii），g（n）∈Θ（f（n）），其中我们发现常数k_1 = 1（或严格地说，k_1非常接近1）满足左边的（**）。
另一方面，如果我们假设f（n）＆lt; = g（n）总是假（足够大的n），我们得出结果
g(n) < f(n), (a1.false)
g(n) < k_2*f(n), for some constant k_2>0. (a4)
当然，它持有（k_2 = 1）。
要完善，声明a）有点奇怪。
陈述b） g（n）∈Ω（f（n）），始终为真
很像i）（上限），鉴于
g(n) ∈ Ω(f(n)),
然后，对于足够大的n，
k*f(n) < g(n), for some constant k>0, (b1)
成立。我们已经从ii）知道这是正确的，因为这是在（**）
的左侧给出的(**) k_1*f(n) < g(n), for some constant k_1>0. (b2)
因此，给定ii），g（n）∈Ω（f（n））成立是微不足道的。
声明c） f（n）＆lt; =Θ（g（n）），始终为真
从ii）召回Big-Θ; f（n）∈Θ（g（n））可以描述为
k_1*g(n) < f(n) < k_2*g(n), n sufficiently large, (c1)
对于某些常数k_1> 0，k_2> 0。
在这种情况下，f（n）＆lt; =Θ（g（n））没有多大意义，因为O（g（n））或者描述了f（n）或f函数集的性质（ n）符合属性O（g（n））（在渐近行为的背景下。来自维基百科的Big O符号文章（https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation）：
“符号O（g（n））也用于表示所有函数的集合 f（n）满足关系f（n）= O（g（n））; f（n）∈Θ（g（n））“
也许leq运算符“＆lt; =”在Big -...-表示法的上下文中有一些特殊含义，但它不是我自己遇到过的。