最近，我使用回溯（Sudoku solver，N Queens问题）解决了一些问题。虽然我可以直观地理解回溯比蛮力更好，但我无法用数学/渐近推理出来。例如，假设我们正在为N * N网格实现数独求解器，其中有K个空槽要填充。这里：
[蛮力方法是使用任何N个数字填写所有K个插槽，然后检查最终状态是否为有效网格。]
总之，我们认为需要O（N K * NK）= O（KN K + 1 ）
嗯，这对于强力算法来说是一个公平的界限，但是在回溯算法中，我们在填充过程中更早地删除了很多无效状态。显然，与强力实施相比，回溯算法在实践中非常快。我搜索了类似的问题并找到了这个one，但它使用了与蛮力相同的界限。我们如何渐近地证明这种回溯算法比蛮力算法更好？
编辑： 由于人们投票将这个问题关闭为“太宽泛”，我正在迭代我正在寻找上述数独求解器的特定情况。 但是，您可以分享您通常使用的任何想法，以渐进地推断出给定的回溯问题比蛮力方法更快。
答案 0 :(得分：1)
渐近地，回溯通常与蛮力相同。
这样做的原因是，在最糟糕的情况下，你很难在实践中看到优化。对于数独你可能会争辩说，在最坏的情况下（空板）你的表现将是O（N！* N-1！* N-2！...）（因为你不会尝试明显错误选项）。然而，这远远不是一般的情况，很可能很多地方只有一个合格的价值，你只需要在几个空位（少于空位数）中尝试几个合格的价值。因此，对于一个20 * 20的拼图，你只有10个插槽，其中3个符合条件的值，你的表现看起来更像是3 ^ 10而不是20！* 19！* 18！...这里没有保证，但是在实践中，对于大多数情况来说它更快。
这类似于其他算法，其中最糟糕的情况可能非常糟糕，但平均值非常好。例如，QSort是O（N ^ 2），因为您总是可以选择最差的枢轴。然而，这种情况不太可能，因此平均值表现更像是NlogN。