Question

我对以下程序的运行时间有疑问：问题1：

a = 0
for i = 1 to n:
    if i is odd:
        for j = 1 to i:
            a = a + j

问题2：

k = n
while k >= 1:
    k = k / 2

使用大O和大Theta这两个问题的运行时间是什么？

对于第一个问题，第一行是O（1），外部for循环是O（n）。我对内部for循环有点困惑，因为它与j有关。我认为当n为大奇数时，由于嵌套循环，它将为O（n ^ 2）。

对于第二个问题，我认为k小于1需要n / 2次，但不确定它是否为n的O（n）或大θ。

Answer 1

您对第一个问题的分析基本上是正确的。关键点成分是经典身份

1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2

在这种情况下2k-1 = n（或n-1）因此复杂性为O((n/2)^2) = O(n^2)

对于第二个问题 - 这是一个典型的分而治之的问题。关键问题是 - 为了达到1，你需要多少次将n除以？这相当于询问您需要将1乘以2乘以n的次数？换句话说 - k使2^k = n成为什么？您可能想要查看您对对数的了解。

Answer 2

首先：你几乎完全（N x N / 2/2）次操作，所以它是O（N ^ 2）。画一个正方形：你会看到你拿一个三角形（和一个两个以上的情况）。

第二：你有log2 N个操作，所以它是O（log N）。

Answer 3

要理解问题2，您可以模拟一个示例。如果你在二进制基数中写出数字，事情应该变得很明显：

100 -> 1100100
 50 ->  110010
 25 ->   11001
 12 ->    1100
  6 ->     110
  3 ->      11
  1 ->       1