Question

假设我有一个由三个坐标A，B和C定义的三角形和一个由3D欧几里德空间中的两个坐标D和E定义的线段。让我们进一步假设该段与三角形相交。现在，我需要找出线段在其“边界”处与三角形相交。所以我的想法是取三角形的每个边缘（AB，BC和CA）并测试其中一个与段DE相交。问题是我没有找到段/段交叉的解决方案。我发现this一个，但它不起作用。非常感谢。

修改根据MBo的回答，我实现了一个C＃方法：

// return: 0 -> segment parallel to plane
// return: 1 -> segment intersects an edge of the face
// return: -1 -> segments intersects the interior or the triangle or not at all
public static int SegmentTriangleIntersection(Vector3D a, Vector3D b, Vector3D c, Vector3D d, Vector3D e)
{
    var ed = e - d;
    var ba = b - a;
    var ca = c - a;
    var ad = a - d;

    var det = (ed.X*-ba.Y*-ca.Z) + (-ba.X*-ca.Y*ed.Z) + (-ca.X*ed.Y*-ba.Z) - (ed.Z*-ba.Y*-ca.X) - (-ba.Z*-ca.Y*ed.X) -
                  (-ca.Z*ed.Y*-ba.X);

    if (Vector3D.IsNearlyEqual(det, 0)) // segment parallel to triangle
        return 0;

    var det_t = (ad.X * -ba.Y * -ca.Z) + (-ba.X * -ca.Y * ad.Z) + (-ca.X * ad.Y * -ba.Z) - (ad.Z * -ba.Y * -ca.X) - (-ba.Z * -ca.Y * ad.X) -
                    (-ca.Z * ad.Y * -ba.X);

    var t = det_t/det;
    if (t >= 0 & t <= 1) // segment intersects plane of triangle
    {
        var det_u = (ed.X*ad.Y*-ca.Z) + (ad.X*-ca.Y*ed.Z) + (-ca.X*ed.Y*ad.Z) - (ed.Z*ad.Y*-ca.X) - (ad.Z*-ca.Y*ed.X) -
                        (-ca.Z*ed.Y*ad.X);
        var u = det_u/det;
        var det_v = (ed.X*-ba.Y*ad.Z) + (-ba.X*ad.Y*ed.Z) + (ad.X*ed.Y*-ba.Z) - (ed.Z*-ba.Y*ad.X) -
                        (-ba.Z*ad.Y*ed.X)-(ad.Z*ed.Y*-ba.X);
        var v = det_v/det;

        if (Vector3D.IsNearlyEqual(u, 0) && v >= 0 && v <= 1)
            return 1;
        if (Vector3D.IsNearlyEqual(v, 0) && u >= 0 && u <= 1)
            return 1;
        if (Vector3D.IsNearlyEqual(v + u, 1) && u >= 0 && v >= 0)
            return 1;
    }
    return -1;
}

Answer 1

让我们使用坐标参数方程（粗体矢量）：

段DE：
sDE （t）= D + t *（ E - D ）= D + t * ED
// ED = E - D

段AB：
sAB （u）= A + u *（ B - A ）= A + u * BA

段AC：
sAC （v）= A + v *（ C - A ）= A + u * CA

ABC三角形的平面用双参数方程描述：
pABC （u，v）= A + u * BA + v * CA

坐标（u，v）在平面内的点位于三角形内，如果

u in range [0..1]
and 
v in range [0..1]
and
u+v is in range [0..1]

坐标（u，v）的点位于三角形边缘，如果 [边缘条件]

u = 0 and v in range [0..1]    //at AC edge
or
v = 0 and u in range [0..1]    //at AC edge
or
v + u = 1 and u in range (0..1) and v in range (0..1)      //at BC edge

现在让我们为DE段和ABC平面的交点编写等式

sDE （t）= pABC （u，v）
D + t * ED = A + u * BA + v * CA

我们可以求解最后一个方程（每个坐标的3个线性方程组）并找到参数t,u,v

D.X + t * ED.X = A.X + u * BA.X + v * CA.X
D.Y + t * ED.Y = A.Y + u * BA.Y + v * CA.Y
D.Z + t * ED.Z = A.Z + u * BA.Z + v * CA.Z

t * ED.X - u * BA.X - v * CA.X = A.X - D.X
t * ED.Y - u * BA.Y - v * CA.Y = A.Y - D.Y
t * ED.Z - u * BA.Z - v * CA.Z = A.Z - D.Z

首先找到该系统的行列式 - 如果它为零，则段与平面平行。

如果没有，请检查参数t。如果t在范围[0..1]

中，则段与平面相交

如果是，请检查u, v参数是否符合上述边缘条件

段段交叉点

1 个答案: