计算有向图中Euler PATH的数量？

Question

• 我想在有向图中计算所有Euler PATH。
• 电路对我不利，只有路径。

我正在做一个问题，我已经找到了一个点，在那里快速了解路径的数量会有所帮助。 目前，我已经编写了一个递归函数（在c ++中），它可以找到所有这些函数，但它的复杂性增长很快，所以我的算法变得很慢。我的算法是~O（2 ^ n）。如果可能的话，我想要一个更快的。

我已经研究了这个主题，但我只能在有向和无向图中找到Euler Circuits的证明（对于NP完全或多项式）和算法。但同样，我正在寻找有向图中的Euler Paths。

我的图表只有两个节点，但是很多边缘应该只触摸一次，就像在欧拉路径中一样。

总结如下：

1. Euler 路径。
2. 定向图表。
3. 只有两个节点。
4. 高边数。
5. 边缘成本相同。

这是一张图片，用于说明可能的设置。

Answer 1

如果你想生成所有可能的补丁，我认为不可能加快速度，因为你必须打印很多补丁。但是如果你只需要计算它们，你可以更快地完成它。

你有4种类型的边缘。 1）0-0; 2）1-1; 3）0-1; 4）1-0

首先，让我们计算一下我们有多少类型为3和4的边缘。

假设：

S1 - 类型1的边缘总数

S2 - 类型2的边数总计

S3 - 类型3的边缘总数

S4 - 类型4的边缘总数

如果| S3 - S4 | ＆GT; 1路径不存在。

对于你的图表，S3 = 1，S4 = 2.假设我们有一条路径。让我们修复类型3和4的边缘。

然后路径将如下：

(1-1)*, 1-0, (0-0)*, 0-1, (1-1)*, 1-0, (0-0)*

(1-1)* - 表示重复边1-1的0次或更多次。

现在算法显而易见：

1. 生成（1-0）边缘的排列
2. 生成（0-1）边的排列
3. 生成（0-0）边的排列
4. 生成（1-1）边缘的排列
5. 查找S3和S4的所有成分，不超过S1和S2部分。
6. 写下答案。

步骤1-4将采用O（S1！* S2！* S3！* S4！）时间（S1 + S2 + S3 + S4 = n）。

所以算法会很慢。

我们可以使用产品规则找到总计数。

步骤1-4给我们S1！ * S2！ * S3！ * S4！组合

可以在O（N）时间内计算步骤5的组合。只需在本文中计算前缀总和：https://en.wikipedia.org/wiki/Composition_(combinatorics)