关于数值方法的概念混淆

Question

我有一个关于数值方法的概念性问题。有限元，连续有限元，不连续有限元，连续伽辽金和不连续伽辽金方法有什么区别？他们中的一些人是一回事吗？

提前致谢

Answer 1

有限元方法是数值方法的一个子集（其中还包括有限体积，有限差分，蒙特卡罗和批次更多）。

简单地说，在有限元方法中，人们试图通过预定义基函数的线性组合来近似解决问题的方法。这些基函数可以选择为连续的或不连续的。得到的数值方法称为CG / DG（连续/不连续Galerkin）方法。在DG方法中，基函数仅分段连续：除了一个元素外，每个基函数在域中的任何地方都为零。另请参阅此excellent Wikipedia article，其中包含一些非常好的数据。

不连续的Garlerkin方法很久以前就已经在粒子输送领域得到普及，但最近它们在其他领域也取得了进展。 （这主要是因为一开始并不清楚不连续基函数如何在涉及扩散的方程中很好地工作，但现在已经解决了这个问题。）

Answer 2

对@A只是一个小小的纠正。 Hennink的回答 - 在DG方法中，状态变量不基本函数之间的分段连续。基函数之间的状态变量存在非物理跳跃，因此名称中的不连续部分。这可以在下图中显示（显示）CG和DG的连续基函数：

在CG方法中，基函数是分段连续的，意味着在状态变量本身中是连续的，但是导数可能不是连续的（即，基函数之间的状态变量的导数可能存在不连续性）。这意味着解决您遇到的任何问题的解决方案可能会在解决方案中产生非物理扭结。请注意＆＃39;扭结＆＃39;在以下解决方案中

虽然某些基函数在导数中并不总是不连续的（参见Hermite基函数）。看看以下Hermite基函数在两个终点处的导数是零。如果所有基函数都是使用Hermite多项式组合的，则导数在基函数之间是连续的，因为它在边界处为零。下面，Psi_1是Psi_0的派生，Psi_3是Psi_2的派生：