Question

我正在制作一个涉及弹性球物理的程序。我已经计算出所有与墙壁和静止物体发生碰撞的数学计算，但我无法弄清楚当两个移动的球碰撞时会发生什么。我有质量和速度（x和y速度准确，但每个球的速度和它们的方向都会这样做）并且想要那些公式。记住 - 这是一个完全弹性的碰撞 - 所以没有旋转球等。

Answer 1

这个wikipedia article提供了计算两个粒子碰撞后的速度的公式：

$\mathbf{v'_1}=\mathbf{v_1}-\frac{2m_2}{m_1+m_2}\frac{\left \langle \mathbf{v_1}-\mathbf{v_2}| \mathbf{x_1}-\mathbf{x_2}\right \rangle }{{\left \| \mathbf{x_1}-\mathbf{x_2} \right \|}^{2}} (\mathbf{x_1}-\mathbf{x_2})$

$\mathbf{v'_2}=\mathbf{v_2}-\frac{2m_1}{m_1+m_2}\frac{\left \langle \mathbf{v_2}-\mathbf{v_1}| \mathbf{x_2}-\mathbf{x_1}\right \rangle }{{\left \| \mathbf{x_2}-\mathbf{x_1} \right \|}^{2}} (\mathbf{x_2}-\mathbf{x_1})$

使用此公式的原因有很多：

你只需要在碰撞前你的球的速度矢量，它们的质量和位置，
你不需要定义偏离角度，
操作简单（只需要点产品），
矢量可以在任何坐标系中表示。

维基百科文章中没有证据，所以我在下面提供。

问题的定义

对于我们定义的每个球：

mi the mass
vi 碰撞前的速度矢量
v <＃39; i 碰撞后的速度矢量
Oi中心点
xi Oi位置的载体

单位矢量 n 与接触点处球的表面垂直。

$\mathbf{n}=\frac{\mathbf{O_1O_2}}{\left \| \mathbf{O_1O_2}\right \|}=\frac{\mathbf{x_2 - x_1}}{\left \| \mathbf{x_2 - x_1}\right \|}$

单位矢量 t 与接触点处球的表面相切。

使用物理法

总动量守恒表示为：

$m_1\mathbf{v'_1}+m_2\mathbf{v'_2}=m_1\mathbf{v_1}+m_2\mathbf{v_2}$

总动能守恒表示为：

$\frac{m_1 {v'}_1^{2}}{2}+\frac{m_2 {v'}_2^{2}}{2}=\frac{m_1 v_1^{2}}{2}+\frac{m_2 v_2^{2}}{2}$

由于在切线方向上没有施加力，碰撞后速度的切向分量不变：

$\left\{\begin{matrix} \left \langle \mathbf{v'_1}|\mathbf{t} \right \rangle=\left \langle \mathbf{v_1}|\mathbf{t} \right \rangle \\ \left \langle \mathbf{v'_2}|\mathbf{t} \right \rangle=\left \langle \mathbf{v_2}|\mathbf{t} \right \rangle \end{matrix}\right.$

<强>证明

速度的切向分量不变。所以我们可以用正常的组件重写守恒定律，现在我们有一个问题：

$\left\{\begin{matrix} m_1 {\left \langle \mathbf{v'_1}|\mathbf{n} \right \rangle}+m_2 {\left \langle \mathbf{v'_2}|\mathbf{n} \right \rangle} =m_1 {\left \langle \mathbf{v_1}|\mathbf{n} \right \rangle}+m_2 {\left \langle \mathbf{v_2}|\mathbf{n} \right \rangle} \\ m_1 {\left \langle \mathbf{v'_1}|\mathbf{n} \right \rangle}^{2}+m_2 {\left \langle \mathbf{v'_2}|\mathbf{n} \right \rangle}^{2}=m_1 {\left \langle \mathbf{v_1}|\mathbf{n} \right \rangle}^{2}+m_2 {\left \langle \mathbf{v_2}|\mathbf{n} \right \rangle}^{2} \end{matrix}\right.$

动能守恒可以分解，然后通过动量守恒简化：

$m_1 {\left \langle \mathbf{v'_1}|\mathbf{n} \right \rangle}^{2}-m_1 {\left \langle \mathbf{v_1}|\mathbf{n} \right \rangle}^{2}=m_2 {\left \langle \mathbf{v_2}|\mathbf{n} \right \rangle}^{2}-m_2 {\left \langle \mathbf{v'_2}|\mathbf{n} \right \rangle}^{2}$

$\Rightarrow {\left \langle \mathbf{v'_1}|\mathbf{n} \right \rangle}+{\left \langle \mathbf{v_1}|\mathbf{n} \right \rangle}={\left \langle \mathbf{v_2}|\mathbf{n} \right \rangle}+{\left \langle \mathbf{v'_2}|\mathbf{n} \right \rangle}$

我们将最后一个表达式与动量守恒结合起来，得到 v＆＃39; 1 的正常分量：

$\left \langle \mathbf{v'_1}| \mathbf{n}\right \rangle=\frac{(m_1-m_2)\left \langle \mathbf{v_1}| \mathbf{n}\right \rangle + 2 m_2\left \langle \mathbf{v_2}| \mathbf{n}\right \rangle}{m_1+m_2} =\left \langle \mathbf{v_1}| \mathbf{n}\right \rangle-\frac{ 2 m_2\left \langle \mathbf{v_1-v_2}| \mathbf{n}\right \rangle}{m_1+m_2}$

最后，我们找到 v＆＃39; 1 的维基百科文章的公式：

$\mathbf{v'_1}=\left \langle \mathbf{v'_1}| \mathbf{n}\right \rangle\mathbf{n}+\left \langle \mathbf{v'_1}| \mathbf{t}\right \rangle\mathbf{t}=\mathbf{v_1}-\frac{2m_2}{m_1+m_2}\frac{\left \langle \mathbf{v_1}-\mathbf{v_2}| \mathbf{x_1}-\mathbf{x_2}\right \rangle }{{\left \| \mathbf{x_1}-\mathbf{x_2} \right \|}^{2}} (\mathbf{x_1}-\mathbf{x_2})$

v＆＃39; 2 的公式是对称的。

Answer 2

由于我正在对blobby进行翻拍，因此主体不一定是球形-命中角与X1，X2之间的距离无关。所以我从中使用方程式： https://williamecraver.wixsite.com/elastic-equations

下面的

是根据dx dy速度计算矢量角度的代码：下面进一步是等式（需要转换的矢量输入）。代码在python 3.8x中。元组是函数的输入和输出。

def angle_ofdxdy(dxdy):  # returns angle, z
  dx, dy = dxdy[0], dxdy[1]
  if abs(dy) < 0.01: #prevent div by zero
    dy = 0.01
  # https://math.stackexchange.com/questions/1327253/how-do-we-find-out-angle-from-x-y-coordinates
  z = (dx ** 2 + dy ** 2) ** 0.5
  angle = 2 * atan(dy / (dx + z))
  return (round(angle, 4), z)

以下是在调用方程式之前使用上述函数的准备函数：

def calc_impulse_xy1xy2(xy1_xy2, ball_mass=1, wall_mass=10000000, gamma=0):
  xy1, xy2 = xy1_xy2
  a1, z = angle_ofdxdy(xy1)
  a2, z2 = angle_ofdxdy(xy2)
  # print(f'xy xy translator called for xy={xy1}, xy2{xy2}, angles {degrees(a1):.0f},  {degrees(a2):.0f}')
  return cv1v2(z, a1, z2, a2, ball_mass, wall_mass, gamma)

以下是实际的等式：

def cv1v2(ball_velocity=5, ball_theta=0, wall_velocity=0, wall_theta=0, ball_mass=1, wall_mass=10000000, gamma=0):
  g = gamma  # 0 needs further explainig. ba
  t1,t2 = ball_theta, wall_theta
  v1,v2 = ball_velocity, wall_velocity  # a scalar.
  m1,m2 = ball_mass, wall_mass

  # print('pi/2 is',pi/2)
  vx = (v1 * cos(t1 - g) * (m1 - m2) + 2 * m2 * v2 * cos(t2 - g)) * cos(g) / (m1 + m2) + v1 * sin(t1 - g) * cos(g + pi / 2)
  vy = (v1 * cos(t1 - g) * (m1 - m2) + 2 * m2 * v2 * cos(t2 - g)) * sin(g) / (m1 + m2) + v1 * sin(t1 - g) * sin(g + pi / 2)
  v2x = (v2 * cos(t2 - g) * (m2 - m1) + 2 * m1 * v1 * cos(t1 - g)) * cos(g) / (m1 + m2) + v2 * sin(t2 - g) * cos(g + pi / 2)
  v2y = (v2 * cos(t2 - g) * (m2 - m1) + 2 * m1 * v1 * cos(t1 - g)) * sin(g) / (m1 + m2) + v2 * sin(t2 - g) * sin(g + pi / 2)
  xyxy = ((round(vx, 2), round(vy, 2)), (round(v2x, 2), round(v2y, 2)))
  print(f'Ball: {v1:.1f}({degrees(t1):.0f}\u2070)\t Player:{v2:.1f}({degrees(t2):.0f}\u2070),  impact angle:{degrees(g):.0f}\u2070 masses:{m1},{m2} \nresult:{xyxy}')
  return xyxy

该功能是指球和墙。这只是一个提示，以防您要使用相同的方程式（默认的重物分配给第二个物体）测试墙的反弹。您当然可以在函数调用中添加相同的质量。 经过测试。工作中

此方法假设您已计算出Gamma（接触角）。如果您具有碰撞点和对象形状的完整信息，这很容易出错。尤其是如果至少一个是球

2D弹性球碰撞物理

2 个答案: