Question

我使用ode45在Matlab中求解/绘制二阶微分方程。我的tspan是0到0.25。但接近于零的初始条件是不明确的（斜率变为无穷大，复数值）。 0.25附近的条件定义明确（斜率和值均为零）。

问题：

我可以撤消tspan，并使用＆＃34;最终条件＆＃34;作为初始条件？
嗯，我知道我可以做到（见下面的代码），我得到一个看起来像我期望的情节，但这一般是有效的吗？我在这一案中幸运吗？
ode45提供了数值解，并不准确。逆转tspan后我可能会出现更大的错误吗？

这是我的代码，它应该独立运行：

function ReverseTspan()
% solve diff-eq backward from tspan end to tspan start using ode45()
%  - Good initial conditions at the end, but not start.
%  - Is this a valid thing to do?

% clean slate
clc; clear all; close all;

% tspan - reversed!
R = 0.25:-0.001:0;

% initial values
hinits=[0.0000001;0]; 

% solve
[R,v] = ode45(@equ7,R,hinits);

% strip imaginary values (can't plot 'em)
v(find(real(v)~=v)) = NaN;

% plot first column 
plot(R,v(:,1)); 


function vprime = equ7(R,v);
% Solve second order non-linear differential equation 7:
%   v''(R) + 2/R*v'(R) = K_plus/(R^2)*( v^(-1/2) - lamda_plus*(1-v)^(-1/2)
%
% Matlab ode45 only likes first derivatives, so let:  
%    v_1(R) = v(R)
%    v_2(R) = v'(R)
%
% And create a system of first order diff eqs:
%    v_1'(R) = v_2(R)
%    v_2'(R) = -2/R*v_2(R) + K_plus/(R^2)*( v_1(R)^(-1/2) - lamda_plus*(1-v_1(R))^(-1/2)
%
% Constant Parameters:
K_plus = 0.0859;
lambda_plus = 3.7;

% Build result in pieces for easier debugging of problematic terms
int1 = 1 - v(1);
int2 = int1^(-1/2);
int3 = v(1)^(-1/2);
int4 = K_plus/(R^2);
vprime2 = -2/R*v(2);
vprime2 = vprime2 + int4*( int3 - lambda_plus*(int2) );
vprime=[v(2); vprime2 ];

Answer 1

从数字上讲，你永远无法使用该ODE开始（或获得）R=0。在您的初始条件之后，NaN将返回第一步，从而破坏未来的任何结果。有可能重新调整你的系统以摆脱奇点，但这是一个数学问题。如果指定有效的初始条件（满足您的ODE），您也可以尝试在大于零的时间开始集成。

我可以撤销tspan，并使用“最终条件”作为初始条件吗？

是。这是一个标准程序。特别是，它经常被用来寻找不稳定的流形和不稳定的平衡。

嗯，我知道我可以做到（见下面的代码），我得到一个看起来像我期望的情节，但这一般是有效的吗？我在这一案中幸运吗？

很难概括所有可能的系统。由于稳定性或数字错误的原因，有可能出现这种情况。

ode45提供了数值解，并不准确。在撤消tspan后，我可能会出现更大的错误吗？

我不明白为什么它必然会更大，但这又取决于所使用的系统和求解器。尝试使用其他解算器（例如，ode15s或ode113）和/或通过absolute and relative tolerances更改odeset。

Matlab：微分方程（ode45）：我可以反转tspan以获得更好的初始条件吗？

1 个答案: