Haskell：函数应用程序是否通过列表串联进行分配？

Question

阅读此问题后：Functional proofs (Haskell)

在查看了Haskell音乐学院forall xs ys. length (xs ++ ys) = length xs + length ys的归纳证明之后（第164页）。

在我看来，功能应用程序分配在列表连接上。

因此，更为一般的法律可能是forall f xs ys. f (xs ++ ys) = f xs ++ f ys。

但是如何证明/反驳这样的谓词呢？

- 编辑 -

我写了一个错字：forall f xs ys. f (xs ++ ys) = f xs + f ys，它与上一个问题和Haskell SoM使用的内容相匹配。话虽如此，由于这个错字，它已经不再是“分配”了＃34;属性。然而，@ leftaroundabout为我原来的错字问题做出了正确答案。至于我的预期问题，法律仍然不正确，因为功能并不需要保留结构价值。 f可能会给出完全不同的答案，具体取决于应用列表的长度。

Answer 1

不，一般来说这显然不正确：

f [_] = []
f l = l

然后

f ([1] ++ [2]) = f [1,2] = [1,2]

但

f [1] ++ f [2] = [] ++ [] = []

我确信有这个问题的函数构成了一个有趣的类，但是一般函数可以对列表的结构做很多事情来阻止这样的不变量。

Answer 2

  

在查看了Haskell音乐学院forall xs ys. length (xs ++ ys) = length xs + length ys的归纳证明之后（第164页）。

     

在我看来，功能应用程序分配在列表连接上。

嗯，显然事实并非如此。例如：

reverse ([1..3] ++ [4..6]) /= reverse [1..3] ++ reverse [4..6]

您引用的示例是一个特殊情况，称为 monoid morphism ：函数f :: m -> n，以便：

1. m和n是具有二元操作<>和身份mempty的幺半群;
2. f mempty = mempty
3. f (m <> m') == f m <> f m'

所以length :: [a] -> Int是一个幺半形态，将[]发送到0，将++发送到+：

length [] = 0
length (xs ++ ys) = length xs + length ys