Question

在我的计算机科学课程中，我们正在研究浮点数以及它们在记忆中的表现方式。我已经理解它们在内存中的表示方式（尾数/有效数，指数及其偏差，以及符号位），我理解浮点数是如何相互相加和相减的（非规范化和所有有趣的东西）。然而，在查看一些研究问题时，我注意到了一些我无法解释的问题。

当一个无法精确表示的浮点数被多次添加到自身时，答案低于我们在数学上所期望的那样，但是当相同的浮点数乘以一个整数时，答案恰好出现在正确的数字上。

以下是我们研究问题的一个例子（该示例是用Java编写的，为简单起见，我编辑了它）：

float max = 10.0f; /* Defined outside the function in the original code */
float min = 1.0f; /* Defined outside the function in the original code */
int count = 10; /* Passed to the function in the original code */
float width = (max - min) / count;
float p = min + (width * count);

在这个例子中，我们被告知结果恰好是10.0。但是，如果我们将这个问题看作浮点数的总和，我们得到的结果略有不同：

float max = 10.0f; /* Defined outside the function in the original code */
float min = 1.0f; /* Defined outside the function in the original code */
int count = 10; /* Passed to the function in the original code */
float width = (max - min) / count;

for(float p=min; p <= max; p += width){
    System.out.printf("%f%n", p);
}

我们被告知此测试中p的最终值为~9.999999，-9.536743E-7的最后一个值与{{}的值之间的差异为p 1}}。从逻辑的角度来看（知道浮点数是如何工作的），这个值是有意义的。

我不明白的是，为什么我们在第一个例子中得到10.0。从数学角度来说，我们得到10.0是有意义的，但是知道浮点数是如何存储在内存中的，这对我来说没有意义。任何人都可以解释为什么我们通过将不精确的浮点数乘以int得到精确而准确的值？

编辑：为了澄清，在原始研究问题中，一些值被传递给函数，而其他值则在函数之外声明。我的示例代码缩短了，并简化了研究问题示例的版本。因为有些值传递给函数而不是显式定义为常量，所以我认为可以排除编译时的简化/优化。

Answer 1

首先，一些挑剔：

当浮动无法准确表示时

没有“不能精确代表的浮动”。所有float都可以精确地表示为float s。

被添加到自己好几次，答案比我们要低数学上期望，

当你多次向自己添加一个数字时，你实际上可以获得比你想象的更高的东西。我将使用C99 hexfloat notation。考虑f = 0x1.000006p+0f。然后是f+f = 0x1.000006p+1f，f+f+f = 0x1.800008p+1f，f+f+f+f = 0x1.000006p+2f，f+f+f+f+f = 0x1.400008p+2f，f+f+f+f+f+f = 0x1.80000ap+2f和f+f+f+f+f+f+f = 0x1.c0000cp+2f。但是，7.0*f = 0x1.c0000a8p+2，其轮次为0x1.c0000ap+2f，小于f+f+f+f+f+f+f。

但是当相同的float乘以整数时，答案是，恰好是正确的数字。

7 * 0x1.000006p+0f无法表示为IEEE float。因此它变得圆润。使用round-to-nearest-with-ties-even-even的默认舍入模式，当你执行这样的单个算术运算时，你得到最接近你的确切结果的浮点数。

但我不明白的是，为什么我们得到10.0 对于第一个例子。在数学上，我们有意义得到10.0，但知道浮点数如何存储在内存中，它没有对我有意义。任何人都可以解释为什么我们得到精确和准确通过将不精确的浮点数与int？
相乘来得到的值

要回答您的问题，您会得到不同的结果，因为您执行了不同的操作。你在这里得到了“正确”的答案，这有点侥幸。

让我们切换数字。如果我计算0x1.800002p+0f / 3，我会获得0x1.00000155555...p-1，其转向0x1.000002p-1f。当我把它变为三倍时，我得到0x1.800003p+0f，其中（因为我们断开与偶数的关系）到0x1.800004p+0f。如果我在f+f+f算术float中计算f = 0x1.000002p-1f，这与我得到的结果相同。

Answer 2

因为1.0 + ((10.0 - 1.0) / 10.0) * 10.0只进行了1次不精确值的计算，因此有1次舍入误差，所以比10次增加0.9f的float表示更准确。我认为这是本例中要教授的校长。

关键问题是0.1不能用浮点表示。所以0.9中有错误，它在函数循环中加起来。

＆＃34;确切＆＃34;数字，可能是因为巧妙的输出格式化例程而显示的。当我第一次使用计算机时，他们喜欢用荒谬的科学固定数字格式输出这些数字，这种格式对人类不友好。

我想要明白发生了什么我会找到Koenig的Dobbs博士关于这个主题的博客文章，这是一个启发性的阅读，该系列通过展示如何使用语言来达到顶峰perl，python＆amp;如果它们足够精确，可能java会使计算看起来很精确。

Even Simple Floating-Point Output Is Complicated

如果固定点算法在5到10年后被添加到CPU中，那么不要太惊讶，财务人员就像总和一样准确。

通过整数添加浮点数与乘以浮点数的准确性

2 个答案: