最大化复数的绝对实部的总和

Question

假设复数 a1..an ，那么角度 phi 这些数字必须旋转（=乘以exp（i * phi））才能最大化实部的绝对值之和？

in:=complex[N]
out:=in.*exp(i*phi)
f:=sum(abs(real(out))) 

- ＆GT;哪个phi最大化f？

是否有一个优雅的解决方案（如不在phi中迭代）？

要找到每个数字必须乘以的角度才能使其成为现实并不困难，但加权这些角度以找到所有这些角度的单个最佳角度很困难，因为旋转显然不是线性的 - 类似于

sum(phiN.*abs(in))/sum(abs(in)) 

不起作用（产生的总和低于通过迭代-pi到pi找到的角度）

任何想法都受到赞赏..

Answer 1

虽然存在分析解决方案，但通常很难计算它（对于少量输入变量（n）可能是可行的）。我将首先讨论这个解决方案，然后提出替代方案。

分析解决方案

根据输入数字(l1, phi1), (l2, phi2), ... (ln, phin)，其中li是数字的长度phii，您希望找到：

arg max_phi Sum_i abs(li cos(phii + phi))

您只有一个自变量。因此，我们首先推导出与phi：

相关的函数

f'(phi) = Sum_i (-li sin(phii + phi) * abs'(l cos(phii + phi))

abs'(x)可以是+1或-1。由于它的不连续性，我们不会尝试各种组合。因此，您最终得到2^n f'个变体。那么最佳值是f'(phi)=0中的一个（通常是四个）参数。这可以如下计算。我用si表示第i个词的符号，你需要修改它：

numerator = Sum_i si li sin(phii)
denominator = (Sum_i li^2) + (Sum_i Sum_{j>i} 2 * li * lj * si * sj 

cos（phii - phij））

然后，四个候选解决方案是：

phi*    = -arc cos( numerator / sqrt(denominator))
phi**   = -arc cos(-numerator / sqrt(denominator))
phi***  =  arc cos( numerator / sqrt(denominator))
phi**** =  arc cos(-numerator / sqrt(denominator))

查找每个变体的所有候选项，并选择最大f(phi)的候选项。但是，如上所述，这种方法不适合大n。您需要2^n f种变体，每种变体都需要O(n^2)时间来构建解决方案。

数值解

另一种选择是数值优化方法。挑战在于你的功能不凸。因此，如果您找到局部最大值，则不能说它是否是全局最大值。大多数算法需要良好的初始您可以通过对phi的域进行抽样并选择最佳点来找到初始点。然后，尝试一些标准方法（Newton，Levenberg-Marquardt，BFGS）。