最小生成树与最短路径树

Question

是否可以在具有明显正边的无向图中具有与最短路径树没有共同边的MST？

我一直在尝试绘制不同的例子，但似乎这是不可能的。最短路径树中的最短路径边缘也应该包含在它看来的MST中。

Answer 1

考虑到Prim的算法，您从顶点 v 开始，并开始以最低成本的方式将其他顶点连接到它。因此，对于任何其他顶点 u ，您使用Prim的算法（即包含顶点 v 的算法）连接到连接的组件，尽管可能存在（我认为） ）一个顶点 w ，可以在更短的距离内达到 u ，没有更短的方式到达你来自 v ，因为Prim的算法要求您扩展连接组件，从开始到最便宜添加的任何节点。

因此，由于没有更短的方式从 v 到达 u ，因此在生成的MST中必须存在至少 1个边缘从 v 开始，以及 v 的最短路径树。

即使MST节点的根（例如， rootA ）和最短路径树（例如 rootB ）的根源不同，在构建MST时，Prim的算法应该达到 rootB 使用最短路径树上从 rootB 到 rootA 的最短路径上的边，因为它的定义是最短路径树帮助 rootB 以最短的方式达到 rootA 。