Question

计算pi的同情的数字背景是什么？

我知道SymPy在后台使用mpmath，这使得可以使用任意精度算法执行计算。这样，一些特殊的常量，如e，pi，oo，被视为符号，可以任意精度进行评估。

但Sympy如何确定任意数量的小数位？ Sympy如何在数字上做到这一点？

Answer 1

mpmath使用Chudnovsky公式（https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm）计算pi。

Pi近似为无穷级数，其项减少如（1/151931373056000）^ n，因此每个项大约增加14.18位。这样可以轻松选择多个术语 N ，以达到所需的精度。

实际计算是通过整数运算完成的：也就是说，对于 prec 位的精度，计算pi * 2 ^（ prec ）的近似值。 / p>

以下是从mpmath / libmp / libelefun.py（https://github.com/fredrik-johansson/mpmath/blob/master/mpmath/libmp/libelefun.py）中提取的代码：

# Constants in Chudnovsky's series
CHUD_A = MPZ(13591409)
CHUD_B = MPZ(545140134)
CHUD_C = MPZ(640320)
CHUD_D = MPZ(12)

def bs_chudnovsky(a, b, level, verbose):
    """
    Computes the sum from a to b of the series in the Chudnovsky
    formula. Returns g, p, q where p/q is the sum as an exact
    fraction and g is a temporary value used to save work
    for recursive calls.
    """
    if b-a == 1:
        g = MPZ((6*b-5)*(2*b-1)*(6*b-1))
        p = b**3 * CHUD_C**3 // 24
        q = (-1)**b * g * (CHUD_A+CHUD_B*b)
    else:
        if verbose and level < 4:
            print("  binary splitting", a, b)
        mid = (a+b)//2
        g1, p1, q1 = bs_chudnovsky(a, mid, level+1, verbose)
        g2, p2, q2 = bs_chudnovsky(mid, b, level+1, verbose)
        p = p1*p2
        g = g1*g2
        q = q1*p2 + q2*g1
    return g, p, q

@constant_memo
def pi_fixed(prec, verbose=False, verbose_base=None):
    """
    Compute floor(pi * 2**prec) as a big integer.
    This is done using Chudnovsky's series (see comments in
    libelefun.py for details).
    """
    # The Chudnovsky series gives 14.18 digits per term
    N = int(prec/3.3219280948/14.181647462 + 2)
    if verbose:
        print("binary splitting with N =", N)
    g, p, q = bs_chudnovsky(0, N, 0, verbose)
    sqrtC = isqrt_fast(CHUD_C<<(2*prec))
    v = p*CHUD_C*sqrtC//((q+CHUD_A*p)*CHUD_D)
    return v

这只是普通的Python代码，除了它依赖于一个额外的函数isqrt_fast()来计算一个大整数的平方根。 MPZ是使用的大整数类型：如果可用则为gmpy.fmpz，否则为Python的内置长类型。 @constant_memo装饰器缓存计算值（pi通常需要在数值计算中重复使用，因此存储它是有意义的。）

您可以看到它通过执行基数转换来计算pi，如下所示：

>>> pi_fixed(53) * 10**16 // 2**53
mpz(31415926535897932)

快速制作Chudnovsky公式的关键技巧称为二进制分裂。无穷级数中的项满足小系数的递归关系（递归方程可以在bs_chudnovsky函数中的b-a == 1情况下看到）。不是按顺序计算术语，而是将总和重复分成两半;递归地评估这两半，并将结果组合。最后，一个有两个大整数 p 和 q ，这样系列的第一个 N 项的总和就完全等于< em> p / q 。请注意，二进制分割过程中没有舍入误差，这是算法的一个非常好的特性;唯一的舍入发生在计算平方根并在最后进行除法时。

计算pi到高精度的大多数快速程序使用非常相似的策略，尽管有一些复杂的技巧可以进一步加快这个过程。

（注意：我是代码的作者。）

sympy如何计算pi？

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