Question

我在描述用于查找二进制数据的最大矩形区域的算法时遇到问题，其中1比k更频繁地出现k次。数据总是n ^ 2位，如下所示：

例如，n = 4的数据如下所示：

   1 0 1 0
   0 0 1 1
   0 1 1 1
   1 1 0 1

k的值可以是1 .. j（k = 1表示0和1的数量相等）。

对于上述数据示例，对于k = 1，解决方案是：

1 0 1 0 ＆lt; - 4 x'0'和4 x'1'
    0 0 1 1
   0 1 1 1
   1 1 0 1

但在这个例子中：
1 1 1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 1 1 1

解决方案是：
1 1 1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 1 1 1

我试过几个暴力算法，但是对于n> 20它变得太慢了。你能告诉我如何解决这个问题吗？

正如RBerteig所提出的那样 - 问题也可以这样描述：“在一个给定的方形位图中，通过某个任意过程将单元格设置为1或0，找到最大的矩形区域，其中1和0以指定的比例出现， K“。

Answer 1

Bruteforce在这里应该做得很好n＆lt; 100，如果正确实现：下面的解决方案具有O（n ^ 4）时间和O（n ^ 2）存储器复杂度。在现代PC上，10 ^ 8的操作应该远低于1秒（特别是考虑到每个操作都很便宜：很少添加和减少）。

一些观察

需要考虑O（n ^ 4）个子矩形，并且每个子矩形都可以作为解决方案。
如果我们可以在O（1）（恒定时间）的每个子矩形中找到1和0的数量，我们将在O（n ^ 4）时间内解决问题。
如果我们知道某个子矩形中的1的数量，我们可以找到零的数量（通过区域）。

因此，问题简化为：创建数据结构，允许在恒定时间内找到每个子矩形中的1个数。

现在，假设我们有子矩形[i0..i1]x[j0..j1]。即，它占据i0和i1之间的行以及j0和j1之间的列。让count_ones成为计算子矩形中1的数量的函数。

这是主要观察结果：

count_ones([i0..i1]x[j0..j1]) = count_ones([0..i1]x[0..j1]) - count_ones([0..i0 - 1]x[0..j1]) - count_ones([0..i1]x[0..j0 - 1]) + count_ones([0..i0 - 1]x[0..j0 - 1])

与实际例子相同：

AAAABBB
AAAABBB
CCCCDDD
CCCCDDD
CCCCDDD
CCCCDDD

如果我们需要在D子矩形（3x4）中找到1的数量，我们可以通过在整个矩形（A + B + C + D）中取1的数量，减去1的数量（A） + B）矩形，在（A + C）矩形中减去1的数字，在（A）矩形中添加1的数字。 (A + B + C + D) - (A + B) - (A + C) + (A) = D

因此，对于每个sums和i，在子矩形j中包含1的1，我们需要表[0..i][0..j]。
您可以在O（n ^ 2）中创建此表，但即使是填充它的直接方式（对于每个i和j迭代[0..i][0..j]区域的所有元素）也将是O（ N R个4）。

有了这张表，

count_ones([i0..i1]x[j0..j1]) = sums[i1][j1] - sums[i0 - 1][j1] - sums[i1][j0 - 1] + sums[i0 - 1][j0 - 1]

因此，达到了时间复杂度O（n ^ 4）。

Answer 2

这仍然是蛮力，但您应该注意的是，您不必从头开始重新计算新的i*j矩形。相反，对于每个可能的矩形大小，您可以一次一步地在n*n网格上移动矩形，减少矩形内不再位的计数，并递增新输入矩形的位数。您可以将其与变化的矩形大小结合起来，并尝试找到移动和调整矩形大小的最佳模式。

Answer 3

只是一些提示..

您可以对值施加更好的限制。要求导致条件

N1*(k+1) == S*k，其中N1是区域中的数量，S=dx*dy是其表面。它可以以更好的形式重写：

N1/k == S/(k+1)。

由于数字n和n+1的最大公约数始终为1，因此N1必须是k和dx*dy的倍数才是多个k+1。它大大减少了解决方案的可能空间，k越大越好（对于dx*dy，您需要使用k+1的素数除数。

现在，因为你只需要具有这种属性的最大区域的表面，从最大的区域开始并移动到较小的区域是明智的。通过尝试满足除数和边界条件的dx*dy downto n^2 k+1，你会发现解决方案非常快，比O（n ^ 4）快，因为一个特殊的原因：除了特殊构造数组的情况外，如果我们假设一个随机输入，N1区域中有S个(n-dx+1)*(n-dy+1)个值的概率是表面S将随着S的减少而不断增长。（k的较大值会使概率变小，但同时它们会使dx和dy对的过滤器变得更强。

此外，这个问题：http://ioinformatics.org/locations/ioi99/contest/land/land.shtml，看起来有点类似，也许你会在他们的解决方案中找到一些想法。

查找给定二进制数据中的最大区域

3 个答案: