考虑一个类型为* -> *的类型类。例如：Functor类型类。众所周知，在Haskell中，这种类型类与其数学（即类别理论）类似物之间存在对应关系。泛化：
问题1： Haskell中每个成员都属于* -> *类型的每个类型对应于类别之间的某些函数吗？
现在考虑一个类型为*的类型类。例如，可以想象一个类型类Group，它对应于组的类别（从技术上讲，Group将是Hask的子类别，其对象包含所有Haskell的类型）。泛化：
问题2： Haskell中其成员属于*的每个类型类都与某些类别相对应（技术上：Hask的某个子类别）？
由此可以提出下一个一般性问题：
问题3：类似等于或高于* -> * -> *的类型对应于某种类别的理论概念吗？
实际上，整个问题可归纳如下：
一般问题：每个Haskell类型类都对应一些类别理论概念吗？
编辑：至少，您似乎可以说，因为每个类型类都包含一些Haskell类型作为其成员，您可以将每个类型类视为 some Hask的子类别（在.下关闭，并使用id）。
答案 0 :(得分：15)
当充分迂腐地解释时，所有这些问题的答案都是＆＃34;是＆＃34;，但是出于无意义的微不足道的原因。
每个类别C都限制为离散的子类别| C |与C相同的对象，但只有身份态射（因此没有有趣的结构）。至少，Haskell类型的操作可以被解释为离散类别|*|上的操作。最近的角色＆＃34;故事相当于（但不是旋转）试图承认态射是重要的，而不仅仅是物体。 ＆＃34;名义上＆＃34;类型的角色相当于|*|而不是*。
（注意，我不喜欢使用＆＃34; Hask＆＃34;作为＆＃34; Haskell类型和函数类别的名称＆＃34;：我担心将一个类别标记为 < / H> Haskell类别具有令人遗憾的副作用，使我们对Haskell编程中其他分类结构的丰富性感到盲目。它是一个陷阱。）
作为一种不同的迂腐，我注意到你可以把任何旧的废话作为任何旧类型的类型组合，没有任何有趣的结构（但是具有微不足道的结构仍然可以断言，如果必须的话）。但是，您在库中找到的类通常是结构丰富的。超过* -> *的类通常是Functor的子类，除了fmap之外，还需要存在某些自然变换。
对于问题2.是的，当然，*以上的课程提供了*的子类别。从一个类别中删除对象没有问题，因为存在身份和复合的分类要求需要态射存在，给定对象，但不要求哪些对象< / em>存在。事实上它很有可能使它成为一个无聊的事实。但是，*之上的许多Haskell类型类比*的子类别产生的更有趣的类别。例如，Monoid类为我们提供了一个类别，其中对象是Monoid的实例，箭头是 monoid homomorphisms ：不只是一个旧函数f Monoid到另一个，但保留结构：f mempty = mempty和f (mappend x y) = mappend (f x) (f y)。
对于问题3，好吧，因为到处都是潜伏着大量的分类结构，当然还有很多类别的分类结构（可能但不一定）。我特别喜欢索引族集之间的仿函数。
type (s :: k -> *) :-> (t :: k -> *) = forall x. s x -> t x
class FunctorIx (f :: (i -> *) -> (j -> *)) where
mapIx :: (s :-> t) -> (f s :-> f t)
当i和j重合时，询问这样的f何时是monad是明智的。通常的分类定义就足够了，即使我们已经离开了* -> *。
消息是这样的：没有任何关于成为类型类的内容会诱导有趣的分类结构;有很多有趣的分类结构，可以通过各种类型的类型类来有效地呈现。从*（集合和函数）到* -> *（函子和自然变换），肯定有一些有趣的函子。不要粗心地谈论＆＃34; Hask＆＃34;哈斯克尔的分类结构的丰富性。
答案 1 :(得分：6)
这里的一个问题是，类别理论，即一般的抽象废话，是一种可以用来谈论数学中几乎任何事物的理论。因此，我们所谈论的所有内容都可以使用类别理论的语言来表达，但我们可能不会产生任何有趣的结果。
Haskell中每个成员类型
* -> *的每个类型类都对应于类别之间的某个函数吗？
否。此问题包含类型错误！函数映射设置为集，但类别不是集。 （换句话说，函数是类别Set中的态射。）类别是使用类来制定的，通常是适当的类，因此您无法将类别提供给函数。
我们会在Haskell类型的类别中调用* -> *态射中的对象。此类别的子类别是Haskell类型之间的仿函数类别，称为Functor。
Haskell中其成员属于
*的每个类型类是否对应于某个类别（技术上：Hask的某个子类别）？
是的。这是事实，但并不是非常有趣。只需从Hask中删除不在类型类中的每个对象，并删除Hask中不消耗的任何态射并从类型类中生成元素，并留下Hask的子类别。此类别应至少包含一个对象⊥和至少一个态射id。
等于或高于
* -> * -> *的类型对应于某种类别的理论概念吗？
是的。再次，这不会很有趣。我们来看一个类型为X的类型* -> * -> *。
X是一个具有相同种类的类型类中的对象吗？嗯，是。但是这个类别并不是很有趣，因为很难想象任何非平凡的态射。
X是某种类别的态射？不，因为它无法组成。
X是一个算子，它将Hask中类型的子类别映射到Hask中类型的态射的子类别吗？当然，但在我们允许态射进入Hask类型的起始子类别之前，我们必须有一些特殊的知识，X Y a b和X Z a b允许同一a b。
在我看来，这并不会产生任何有用的见解，这并不奇怪，因为我们对X一无所知。
类别理论是一种非常容易过度思考和过度使用的工具之一。如果您对类别理论本身并不感兴趣，我的建议是找到使用它的具体动机。特定的类型类（仿函数，透镜，monad，comonads等）有时会为您提供足够的结构或“原始数学材料”，您可以从中构建类别理论中的有趣证明。但是对类型类的研究总的来说可能比它有用更抽象。
答案 2 :(得分：3)
您可以想象不保留其分类结构的类别之间的映射。但它们并不有趣。在类别理论中，我们希望使用结构保留映射，这些称为仿函数。
*->*类型的裸型构造函数没有提供映射态射的规定。所以，正如@pigworker所解释的那样，你能做的最好的事情就是将它们解释为来自| C |的函子到C，只是因为| C |没有非平凡的态射被映射。
Haskell Functor是一个endofunctor，只要它满足仿函数法则（不能在Haskell中强制执行）。 endofunctor不是它映射的类别中的对象，因此不是类型。但是对于态射也是如此 - 它们不是物体。但是，如果类别支持指数，则有一种方法可以将态射表示为对象。 Haskell的类型类型是笛卡尔闭合的，因此它支持指数。
那么它是否也提供了代表endofunctors的对象（类型）？据我所知，它没有。因此，仿函数不是Hask的成员（或者我们称之为的任何东西）。
顺便提一下，*->*->*种类的映射可以作为一个非平凡的分类解释作为bifunctor - 从产品类别CxC到C的结构保留仿函数。请参阅Haskell中Bifunctor的定义。