具有重心坐标的三角点测试的数值稳定性

Question

在研究三角形点测试的各种方法（2D情况）时，我发现使用重心坐标的方法是最常用的方法。 async documentation是StackOverflow的答案，可以解释它。

为什么这种方法最受欢迎？它可能与减少计算量有关，但数值稳定性呢？这种算法是否更适合于“同一侧”技术，适用于该点特别靠近边界的情况？

Answer 1

如果你解决了它：

p = p0 + (p1 - p0) * s + (p2 - p0) * t
s = <0.0,1.0>
t = <0.0,1.0>
s+t<=1.0

在解决这个系统时：

p.a = p0.a + (p1.a - p0.a) * s + (p2.a - p0.a) * t
p.b = p0.b + (p1.b - p0.b) * s + (p2.b - p0.b) * t
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你有两个代数选项：

I.  t = (p.a - p0.a - (p1.a - p0.a) * s) / (p2.a - p0.a)
II. p.b = p0.b + (p1.b - p0.b) * s + (p2.b - p0.b) * t
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II. p.b = p0.b + (p1.b - p0.b) * s + (p2.b - p0.b) * (p.a - p0.a - (p1.a - p0.a) * s) / (p2.a - p0.a)
II. s = (p.b-p0.b) / ( (p1.b-p0.b) + ( (p2.b-p0.b)*(p.a-p0.a-(p1.a-p0.a)/(p2.a-p0.a) ) )
...

和

I.  s = (p.a - p0.a - (p2.a - p0.a) * t) / (p1.a - p0.a)
II. p.b = p0.b + (p1.b - p0.b) * s + (p2.b - p0.b) * t
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...

这为您提供了2个代数解决方案选项。为了确保稳定性，你应该用足够大的数量来划分。因此，您应该选择轴（a,b - ＆gt; x,y）和点顺序，这样您就不会将零或小幅度数除以。

为避免这种情况，您可以使用矩阵方法

p.a = p0.a + (p1.a - p0.a) * s + (p2.a - p0.a) * t
p.b = p0.b + (p1.b - p0.b) * s + (p2.b - p0.b) * t
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|p.a|   | (p1.a - p0.a) , (p2.a - p0.a) , p0.a |   | s |
|p.b| = | (p1.b - p0.b) , (p2.b - p0.b) , p0.b | * | t |
| 1 |   |       0       ,       0     ,     1  |   | 1 |
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| s |           | (p1.a - p0.a) , (p2.a - p0.a) , p0.a |   | p.a |
| t | = inverse | (p1.b - p0.b) , (p2.b - p0.b) , p0.b | * | p.b |
| 1 |           |       0       ,       0       ,   1  |   |  1  |
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此外，您还可以获得更多轴顺序，点顺序选项，以便逆矩阵可计算。如果使用亚决定因素方法进行逆矩阵解，则唯一重要的是最终除法步骤。所以你可以选择订单，直到你有非零行列式。