平衡二叉树底层中的节点数

Question

我想知道在研究二叉搜索树时出现的两个问题。它们如下：

  

具有n个节点的平衡二叉搜索树的底层中的最大节点数是多少？

     

具有n个节点的平衡二叉搜索树的底层中的最小节点数是多少？

我在教科书中找不到任何关于此的公式。有没有办法回答这些问题？请告诉我。

Answer 1

假设它是完整二叉树，叶子中的节点数总是等于(n/2)+1。

对于最小节点数，节点总数可以是1（满足它应该是平衡树的条件）。

Answer 2

我得到了我教授的答案。

  

1）最后一级的最大节点数：⌈n/2⌉

     

如果存在具有7个节点的平衡二叉搜索树，则答案为⌈7/2⌉= 4，对于具有15个节点的树，答案为⌈15/2⌉= 8。   但令人不安的是，只有当平衡树的最后一级从左到右填充完全时，此公式才会给出正确的答案。   例如，具有5个节点的平衡二叉搜索树，上面的公式给出3的答案，这是不正确的，因为具有5个节点的树可以包含最后一级的4个节点的最大节点。 所以我猜他的意思是完全平衡的二叉搜索树。

     

2）最后一级的最小节点数： 1

Answer 3

使用符号：

• H =平衡的二叉树高度
• L =高度为H的完整二叉树中的叶子总数。
• N =高度为H的完整二叉树中的节点总数。

该关系为L = (N + 1) / 2，如下所示。对于给定的树高H，这将是叶节点的最大数量。给定高度的最小节点数为1（不能为零，因为树的高度将减少一）。

在绘制高度不断增加的树木时，可以观察到：

H = 1, L = 1, N = 1
H = 2, L = 2, N = 3
H = 3, L = 4, N = 7
H = 4, L = 8, N = 15
...

树高（H）与叶子总数（L）之间的关系 并且节点总数（N）显而易见：

L = 2^(H-1)
N = (2^H) - 1

使用数学归纳法可以轻松证明其正确性。

上面的示例表明，对于小型H，它是正确的。 只需输入H的值（例如H=1）并计算L和N。 假设公式对某些H是正确的，则可以证明它们对HH=H+1也正确：

对于L，假设L=2^(H-1)为真。 由于每个节点都有两个子节点，因此高度增加一个 将有效地用两个新叶子替换每个叶子节点 叶片总数加倍。因此，对于HH=H+1， 树叶总数（LL将增加一倍：

LL = L * 2
   = 2^(H-1) * 2
   = 2^(H)
   = 2^(HH-1)

对于N，假设N=(2^H)-1为真。 将高度增加一（HH=H+1）会增加总数 节点数（按已添加叶节点的总数）。因此，

NN = N + LL
   = (2^H) - 1 + 2^(HH-1)
   = 2^(HH-1) - 1 + 2^(HH-1)
   = 2 * 2^(HH-1) - 1
   = (2^HH) - 1

应用数学归纳法，证明了其正确性。

H可以用N来表示：

N = (2^H) - 1        // +1 to both sides
N + 1 = 2^H          // apply log2 monotone function to both sides
log2(N+1) = log2(2^H)
          = H * log2(2)
          = H

L和N之间的直接关系（是所问问题的答案）是：

L = 2^(H - 1)                 // replace H = log2(N + 1)
  = 2^(log2(N + 1) - 1)
  = 2^(log2(N + 1) - log2(2))
  = 2^(log2( (N + 1) / 2 ))
  = (N + 1) / 2

对于Big O分析，常量将被丢弃，因此二进制搜索树查找时间复杂度（即，相对于输入大小H的{​​{1}}）为N。另外，请记住更改对数底数的公式：

O(log2(N))

并丢弃常数因数log2(N) = log10(N) / log10(2) ，而不是1/log10(2)可以具有任意对数底数，而时间复杂度仅为10，而与选择的对数底数常数无关。

Answer 4

二叉树中级别L的节点的最大数量为2^L（如果您假设顶点为0级）。这很容易看到，因为在每个级别，您会从前一个叶子中生成2个孩子。它是平衡/搜索树的事实是无关紧要的。因此，您必须找到L这样的最大2^L < n并从n中减去它。在数学语言中是：

节点的最小数量取决于您平衡树的方式。可以有高度平衡的树木，重量平衡的树木，我假设其他平衡的树木。即使使用高度平衡的树木，您也可以定义平衡树的含义。因为从技术上来说，2^N节点的树高度为N + 2仍然是一棵平衡的树。