我试图通过一本书来理解Big-O符号，并且它通过使用函数来覆盖Big-O，尽管我有点困惑。书中说O（g（n））其中g（n）是f（n）的上界。所以我理解这意味着g（n）给出了较大n值时f（n）的最大增长率。
并且存在n_0，其中cg（n）的增长率（其中c是某些常数）和f（n）具有相同的增长率。
但令我感到困惑的是这些关于在数学函数中找到Big O的例子。
这本书说找到f（n）= n ^ 4 + 100n ^ 2 + 50的上界 然后他们说n ^ 4 + 100n ^ 2 + 50＆lt; = 2n ^ 4（不确定为什么2n ^ 4） 然后他们一些人如何找到n_0 = 11和c = 2，我明白为什么大O是O（n ^ 4）但我只是对其余的感到困惑。
这是令人沮丧的，因为我不明白，但我觉得这是一个我必须理解的重要话题。
如果有人好奇的话，那本书是Narasimha Karumanchi的数据结构和算法轻松
不确定此帖子是属于此处还是属于数学板。
答案 0 :(得分：8)
首先，让我们松散地说明f中O(g(n))的定义（注意：O(g(n))是一组函数，所以要挑剔，我们说f位于O(...)，而f(n)位于O(...)）。
如果函数f（n）在 O（g（n））中是，则c·g（n）是上限 f（n），对于某些常数c ，使得f（n）总是≤c·g（n）， 足够大n （即某些常数n0的n≥n0）。
因此，为了表明f(n)在O(g(n))中，我们需要找到一组满足
f(n) < c · g(n), for all n ≥ n0, (+)
但此设置并非唯一。即，找到常数（c，n0）使得（+）成立的问题是退化。实际上，如果存在任何这样的常数对，则将存在无限量的不同的这样的对。
f ∈ O(n^4) 现在，让我们继续看看让你困惑的例子
找到函数的上渐近界限
f(n) = n^4 + 100n^2 + 50 (*)
一种直截了当的方法是用高阶项表达(*)中的低阶项，特别是w.r.t.边界（... < ...）。
因此，我们看到是否可以在n上找到下限，以便以下成立
100n^2 + 50 ≤ n^4, for all n ≥ ???, (i)
我们可以通过求解方程
轻松找到（i）中的等式m = n^2, m > 0
m^2 - 100m - 50 = 0
(m - 50)^2 - 50^2 - 50 = 0
(m - 50)^2 = 2550
m = 50 ± sqrt(2550) = { m > 0, single root } ≈ 100.5
=> n ≈ { n > 0 } ≈ 10.025
因此，(i)适用于n ≳ 10.025，我们宁愿在n上以整齐的整数值显示此约束，因此四舍五入到11：< / p>
100n^2 + 50 ≤ n^4, for all n ≥ 11, (ii)
从(ii)来看，显然存在以下内容
f(n) = n^4 + 100n^2 + 50 ≤ n^4 + n^4 = 2 · n^4, for all n ≥ 11, (iii)
此关系与(+)，c = 2和n0 = 11完全相同g(n) = n^4，因此我们展示了f ∈ O(n^4)。但请注意，常量c和n0的选择是便利之一，这不是唯一的。由于我们已经证明(+)适用于常量(c,n0），我们可以证明它适用于无数种不同的常量选择（例如，它自然适用于{{1 }和c=10，...等等。）