如何使用Lambertw以符号形式求解指数方程

Question

假设A，B和C是正常数。我需要以符号形式求解下面的等式W（A，B，C）。

solve(x-(exp(log(2)*x*A)-B)*C==0)

感谢任何帮助。

Answer 1

由于等式混合了多项式和超越，我的第一个想法就是它可能没有解析解。但是，表单提醒我Lambert W函数（Wikipedia和Mathworks blog post），所以我尝试了变量替换u = x/c+b，这产生了简化问题

  

solve(u == alpha * exp(beta * u) , u);

其中alpha = exp(-log(2)*a*b*c)和beta = log(2)*a*c。通过Matlab运行这个给我

>> syms alpha beta u
>> solve(u == alpha * exp(beta * u) , u)
ans =
-lambertw(0, -alpha*beta)/beta

确实展示了Lambert W函数调用。有了这些知识，我们可以像xsol一样得到解决方案：

syms a b c alpha beta x u xsol usol
usol = solve(u == alpha * exp(beta*u),u);
log2 = log(sym(2));
xsol = subs(c*(usol-b),[alpha,beta],[exp(-log2*a*b*c),log2*a*c]);

让我们通过检查分析解决方案与数字解决方案相比，确保符号引擎没有出错：

anum = rand();
bnum = rand();
cnum = rand();
xana = double(subs(xsol,[a,b,c],[anum,bnum,cnum]));
xnum = vpasolve(x-(exp(log2*x*anum)-bnum)*cnum,x);
fprintf('%15.10e\n%15.10e\n%15.10e\n',xana,xnum,xana-xnum);

显示

8.0171933677e-02
8.0171933677e-02
1.7453177064e-19

注意：a，b和c的某些组合可能会产生一个没有真正解决方案的等式。在这种情况下，分析解决方案可能会给出一个复杂的数字，其准确性应该受到高度质疑。